Get 20M+ Full-Text Papers For Less Than $1.50/day. Start a 14-Day Trial for You or Your Team.

Learn More →

Testing Slope Homogeneity in Quantile Regression Panel Data with an Application to the Cross-Section of Stock Returns

Testing Slope Homogeneity in Quantile Regression Panel Data with an Application to the... Abstract This article proposes tests for slope homogeneity across individuals in quantile regression fixed effects panel data models. The tests are based on the Swamy statistic. We establish the asymptotic null distribution of the tests under large panels. A prominent advantage of the proposed tests is that they are easy to implement in empirical applications. Monte Carlo experiments show evidence that the tests have good finite sample performance in terms of size and power. The tests are then applied to study the cross-section of firms’ excess asset returns using financial data on U.S. firms. The tests allow us to assess, for a given quantile of the distribution of excess returns, whether the linear effect of the pricing factors in standard linear asset pricing models is the same across stocks. The results confirm the validity of those models for the mean and central quantiles. However, for tail quantiles, the slope homogeneity tests reject the null hypothesis providing empirical evidence of pricing anomalies. This suggests that the effect of firm characteristics on the distribution of excess returns is heterogeneous across stocks during booms and busts. 1 Introduction The collection of more data is a welcome feature of modern empirical economics and finance. Given the larger datasets, researchers are able to consider more realistic models that allow for heterogeneity. An important class of statistical models that control for (unobserved) heterogeneity is panel data models. It has become usual in panel data applications to impose a concomitant assumption of heterogeneous individual-specific intercepts and homogeneous slope coefficients across individuals. The former condition has become standard in the panel data literature. However, the latter constraint might be seen as excessively strong and has become controversial as the availability of data increases. Moved by the question on the benefits of pooling vis-à-vis heterogeneous estimators, there is a literature investigating the advantages and disadvantages of estimating the panel data model separately for each cross-sectional unit or by pooling the data (see, e.g., Maddala and Hu, 1996; Maddala et al., 1997; Baltagi, Griffin, and Xiong, 2000; Maddala, Li, and Srivastava, 2001). These models are based on the intuition that homogeneity of the slope coefficients is often an unreasonable assumption, and thus they allow for cross-section heterogeneity.1Hsiao and Sun (2000) argue that if the individuals do not share homogeneous coefficients, fixed effects (FE) estimation may not estimate any parameter of interest and hence, in empirical work, it is important to use formal tests to evaluate the conjecture of homogeneous coefficients across individuals. There are several tests available in the literature for the hypothesis of slope homogeneity across individuals for average regression models, including, among others, Pesaran, Smith, and Im (1996), Phillips and Sul (2003), Pesaran and Yamagata (2008), Blomquist and Westerlund (2013), and Su and Chen (2013). Pesaran, Smith, and Im (1996) propose an application of the Hausman (1978) procedure where the FE estimator is compared with the mean group estimator. Phillips and Sul (2003) suggest a “Hausman-type” test in the context of stationary first-order autoregressive panel data models, where the cross-section, n, is fixed as the time-series, T, goes to infinity. Hsiao (2003) describes a variation of the Breusch and Pagan (1979) test, which is valid when both n and T dimensions tend to infinity. More recently, Pesaran and Yamagata (2008) propose a dispersion-type test based on Swamy (1970) type test. They standardize the Swamy-type test so that the test can be applied when both n and T are large. Blomquist and Westerlund (2013) develop a test that is robust to general forms of cross-sectional dependence and serial correlation. Su and Chen (2013) propose a test for slope homogeneity in large-dimensional panel data models with interactive FE. Nevertheless, to the best of our knowledge, there is no available test of slope homogeneity for quantile regression (QR) panel data models. QR is an important tool to analyze heterogeneity in statistical models. Recently, there has been a growing literature on estimation and testing using QR panel data models. These models have provided a valuable method of statistical analysis of the heterogeneous effects of policy variables. This is especially true for program evaluation studies in economics and statistics, where these methods help to analyze how treatments or social programs affect the outcome distributions of interest. Koenker (2004) introduces a general approach to estimation of QR models for panel data. Controlling for individual-specific heterogeneity via FE while exploring heterogeneous covariate effects within the QR framework offers a flexible approach to the analysis of panel data.2 Motivated by the fact that formal tests for homogeneity of the slopes in panel data models are an indispensable tool for practitioners and also by the recent strong influence of QR panel data methods, this article contributes to the literature by developing testing procedures for homogeneity of the slope coefficients across individuals for FE-QR models. Thus, we propose two tests, a Swamy ( S^) and a standardized Swamy ( Δ^) type tests, with the null hypothesis of slope homogeneity across individuals for a given quantile, τ, of interest. We derive the limiting distributions of the tests under different asymptotic sample size conditions. In particular, we show that under some regularity conditions and the null hypothesis of the homogeneous slope coefficients, S^ converges to a chi-square distribution as T→∞ and n is fixed; and also Δ^ converges to the standard normal distribution as both (T,n)→∞, sequentially and jointly. When the null hypothesis of homogeneous slope coefficients is rejected for some τ, there is evidence of heterogeneous covariate effects across individuals, and as a result using FE-QR assuming homogeneous slope coefficients is inappropriate. The theoretical results of this article suggest that the proposed statistics require large values of n and T for validity. In light of these requirements (as well as the relationship between n and T), we perform an extensive Monte Carlo experiment that explores the tests' performance for a wide variety of sample sizes. We are interested in exploring the finite-sample performance of the test for static and dynamic linear regression models. The simulation results show that the asymptotic distribution is accurate for both processes, with the proposed tests possessing empirical size very close to the nominal size and good power performance even for relatively small values of T compared to n. This novel testing methodology is applied to statistically assess the correct specification of linear asset pricing models for describing the conditional quantile function of the excess returns on risky assets. To do this, and motivated by the theoretical contributions of Rostek (2010), and more specifically, de Castro and Galvao (2017), and Giovannetti (2013), that extends standard linear average asset pricing formulations to the quantile process, we consider a quantile model for the risk premium on risky assets. In this setup, our slope homogeneity tests allow us to assess, for a given quantile of the distribution of excess returns, whether the effect of the pricing factors in standard linear asset pricing models is the same across stocks. By doing so, we extend cross-sectional linear asset pricing formulations for the risk premium to the quantile process. Our approach is more general than the quantile processes obtained from standard location-scale models for asset returns. As a byproduct of our test, under the null hypothesis, our QR panel data model can be interpreted as a linear asset pricing model that accommodates different coefficients across quantiles and that is robust to the presence of asset-specific FE. In this empirical application, we focus on the recent contributions of Kogan and Papanikolaou (2013, 2014) relating firm characteristics and stock returns. These authors propose a linear model to explain the risk premium on a cross-section of U.S. stocks as a function of firm characteristics. We extend this model to the QR case. To do this, we exploit a dataset comprising 294 firms’ asset returns that are regressed on a set of risk factors given by a market portfolio excess return and several firm characteristics such as earnings before interest and taxes as a proportion of total assets, market-to-book ratio, market debt ratio, depreciation as a proportion of total assets, the log of asset size, and a variable that captures the proportion of property, plant, and equipment over total assets. The results of the empirical exercise do not provide statistical evidence to reject the null hypothesis of homogeneity of the slope parameters for the mean and central quantiles of the distribution of the firms’ excess asset returns. In particular, the estimates obtained from the panel data regression models are in line with those of Kogan and Papanikolaou (2013) and reveal the statistical significance of firm characteristics for predicting the excess asset returns of U.S. stocks. The results of the tests cast strong doubt, however, on the homogeneity of the sensitivity of these returns to firm characteristics in the tails of the distribution of excess asset returns. These tests are also applied to assess the homogeneity of the marginal effects of specific risk factors on the excess asset returns. In line with the results for the joint slope homogeneity tests, we do not find significant evidence to reject homogeneity in the mean and central quantiles for most of the regression variables acting as risk factors. Nevertheless, we find strong empirical evidence to reject the null hypothesis for the marginal effect of firms’ book-to-market ratio. In order to obtain a clearer insight into this result, we divide our sample into value stocks and growth stocks, and apply the slope homogeneity testing procedure for each subsample. The test rejects the null hypothesis of slope homogeneity for growth stocks but nor for value stocks. We interpret these results as empirical evidence of the suitability of our empirical panel data equation for pricing more established, value stocks, but not for pricing riskier and newer, growth stocks. The rest of the article is organized as follows. Section 2 describes and discusses the null hypothesis and the tests proposed. Section 3 presents the asymptotic properties of the test statistics. The Monte Carlo simulation results are reported in Section 4. In Section 5, we illustrate the new approach with an application to empirical asset pricing, and Section 6 concludes the article. An Appendix contains the mathematical proofs. 2 The Null Hypothesis and the Proposed Tests We consider a linear FE-QR panel model with n individuals and T time periods for each individual as   Qyit(τ|xit,αi0(τ))=αi0(τ)+xit⊤βi0(τ) t=1,…,T; i=1,⋯,n, (2.1) where yit is the response variable for the i-th individual at time t, αi0 is the i-th individual effect, xit is a k dimensional vector of explanatory variables, Qyit(τ|xit,αi0(τ)) is the τ-quantile of yit given (αi0,xit). In general, the coefficients αi0(τ) and β(τ) can depend on the quantile index τ. Since τ is fixed throughout the article, we will suppress this dependence for notational simplicity. We make no parametric assumption on the relationship between αi0 and xit. For notational simplicity, let Xit be the corresponding covariates with the first element being one, and θi0:=(αi0,βi0⊤)⊤ be a k + 1 vector of coefficients. Thus, model (2.1) can be written concisely as   Qyit(τ|Xit)=Xit⊤θi0=αi0+xit⊤βi0. (2.2) For a given τ∈(0,1), we wish to test the following hypothesis of slope homogeneity across individuals   H0:βi0=β0 for some fixed vector β0 for all i, against the alternatives   H1:βi0≠βj0    ∃      i,j. To implement the tests, the strategy is to estimate the QR coefficients using the time series for each individual, and then compare these resulting estimates with β0. Under the null, the estimates for all individuals should be close to β0. Therefore, a large deviation of the individual estimates from β0 indicates that the null should be rejected. However, in general, we do not observe the true coefficients β0, and thus we replace it with a weighted average of the estimates, β^i, from each individual. Under the null, all the β^i should be close to each other, and to any weighted average of those estimates. More specifically, first we estimate βi0 for each individual i. Denote the slope regression quantile estimate for each individual i by β^i:=Ξθ^i, with Ξ:=[0k×1|Ik×k], and   θ^i:=arg minθ∈ℝk+11T∑t=1Tρτ(yit−Xit⊤θ), (2.3) and ρτ(u):=u(τ−1{u≤0}) as in Koenker and Bassett (1978). Thus, for each individual i regression, the matrix Ξ selects the slope coefficients of interest. Next, we need to estimate β0. To do so, we use a FE minimum distance (MD) estimator, which is a weighted average of the slope regression quantiles. Define the following MD estimator   β^MD=(∑i=1nV^i−1)−1∑i=1nV^i−1β^i, (2.4) with V^i:=ΞV˜^iΞ⊤, where V˜^i is a consistent estimator of the asymptotic variance–covariance matrix of the individual regression quantiles   V˜i:=τ(1−τ)Γi−1ΩiΓi−1, with Γi:=E[fi(0|Xit)XitXit⊤] and Ωi:=E[XitXit⊤] if the data are independent and identically distributed ( i.i.d.) within each individual. We discuss the practical estimation of V˜i below. The weighted mean of the β^i defined above is a MD estimator with weights being the inverse of the asymptotic variance–covariance matrices of the slope regression quantiles. Galvao and Wang (2015) propose this MD-QR estimator for panel data models with FE and establish its asymptotic properties. For a thorough discussion of the MD estimators, see Newey and McFadden (1994), and Hsiao (2003). This FE-MD-QR is the benchmark for the comparison with the β^i's in our tests. To formally test the hypothesis of interest ( H0:βi0=β0) we need a metric to compare the estimates β^i and β^MD. Thus, we propose a QR version of the Swamy-type test as   S^(τ):=∑i=1n(β^i−β^MD)⊤(V^iT)−1(β^i−β^MD), and also a standardized Swamy test as   Δ^(τ)=n(1nS^(τ)−k2k). Both tests S^(τ) and Δ^(τ) depend on the quantile index τ, however we suppress this dependence for simplicity. As it will be clear later, when T is large and n is fixed, S^ is asymptotically χ(n−1)k2 distributed. Therefore, E[1nS^] is approximately k and Var[1nS^] is approximately 2kn. In fact, under some mild conditions, the previous statement holds, and the standardized Swamy test statistic can be approximated by a standard normal random variable. The intuition behind the tests is that under the null of slope homogeneity, all βi0 are the same, and then all estimates β^i are close to each other and consequently to β0, which is estimated by the weighted average β^MD. Therefore, both S^ and Δ^ should be small. If there is evidence that either S^ or Δ^ is large, this casts doubts that the null hypothesis of homogeneity of the slope coefficients holds.3 3 Asymptotic Properties of the Tests In this section, we investigate the asymptotic properties of the proposed tests. The strategy followed is to derive the results under the i.i.d. assumption first, and then extend the results to processes exhibiting serial dependence, and in particular to a stationary β− mixing processes, such as those encountered when modeling financial data. We follow both the slope heterogeneity testing and the panel QR literatures and present results for large panels. In particular, we derive the limiting distribution of the Swamy test ( S^) as T→∞, and the limiting distributions of the standardized Swamy test ( Δ^) under two different asymptotics: T and n tending to infinity sequentially and simultaneously. The sequential asymptotics are defined as T diverging to infinity first, and then n. In the definition of the simultaneous asymptotics, T and n tend to infinity at the same time. We do not specify the exact relationship between n and T, although we maintain that T depends on n. For notational simplicity, we suppress this dependence. For a detailed discussion on sequential and simultaneous asymptotics for panel data, see Phillips and Moon (1999, 2000). In what follows, we adopt the following notation: (T,n)seq→∞ means that first T→∞ and then n→∞, while (T,n)→∞ means T and n tend to infinity simultaneously. We highlight that the use of large panel data asymptotics is common for testing slope homogeneity in the mean regression literature. The Swamy-type test was originally devised for panel data with small n and large T, while the standardized Swamy test was developed for panel data with both n and T large.4 In this article, there are two main reasons for requiring large panels. First, we need to consistently estimate βi0 for each individual, and the data employed in its estimation relies only on the time dimension. Second, the benchmark parameter, β0, is estimated by β^MD, which is similar to a FE-QR estimator. To achieve consistency of β^MD, it is also required that T tends to infinity. We note that using large panels is standard in panel data FE-QR literature (see e.g., Kato, Galvao, and Montes-Rojas, 2012; Galvao and Wang, 2015). In general, the FE-QR estimators are subject to the incidental parameters problem (Neyman and Scott, 1948). Therefore, it is essential to allow T to increase to infinity to achieve consistency and asymptotic normality of the FE-QR estimators. Next, we derive the limiting distribution of the test statistics. To this end, we consider the following set of conditions. A1.  {(yit,Xit)} is independent across i, and independent and identically distributed ( i.i.d.) for each i. A2. There is a constant M such that max⁡1≤t≤T,1≤i≤n‖Xit‖<M. A3. For each δ>0,   εδ:=inf⁡1≤i≤ninf⁡‖θ‖=δE[∫0Xit⊤θ{Fi(s|Xit)−τ}ds]>0,where Fi(s|Xit) is the distribution function of the innovations conditional on the covariates. A4. Let uit=yit−αi0−xit⊤βi0. The conditional density fi(u|X) is continuously differentiable for each X and i, and let fi(1)(u|x):=∂fi(u|x)/∂u. There exist 0<CL≤CU<∞ such that CL≤fi(u|X)≤CU uniformly over (u,X) and i≥1; and there exists Cf>0 such that |fi(1)(u|X)|≤Cf. A5. There exists δΩ>0 such that min⁡1≤i≤nmin⁡eig(Ωi)≥δΩ. Condition A1 assumes, for simplicity, that the data are independent across individuals, and i.i.d. within each individual. Nevertheless, below we will also study the asymptotic properties of the tests for the dependent case. Condition A2 assumes that the covariates are uniformly bounded, which is used in Condition A3 of Koenker (2004) and Condition (a) of Theorem 1 of Chernozhukov and Hong (2001). A slightly weaker assumption in Kato, Galvao, and Montes-Rojas (2012) assumes uniform boundedness of the regressors almost surely. In addition, Condition A3 is an identification condition of (αi,βi0). This condition is usual in the literature. It is the same as A3 of Kato, Galvao, and Montes-Rojas (2012) and corresponds to Condition 3 of Hahn and Newey (2004). The condition states that (αi0,βi0) produce τ-th conditional quantile zero. The first three assumptions are used to guarantee the uniform consistency of the QR coefficients across individuals. Condition A4 restricts the smoothness and the boundedness of the density (and its derivatives) of the errors conditional on the covariates. This condition is now quite familiar in the QR literature. Condition A5 is concerned with the asymptotic covariance matrix of β^i, as presented above. It assures that Ωi−1 are bounded uniformly across i. Also, the uniform upper and lower bounds of the continuous density functions together with Conditions A2 and A5 guarantee that both Γi’s and their inverses are uniformly bounded across i. Therefore, the variance–covariance matrices of the regression quantiles V˜i and their inverses are uniformly bounded. In applications, the variance–covariance matrices are unknown and need to be estimated. For sequential asymptotics, we make the following assumption: A6.  V^i=Vi+op(1) for each i as T→∞.In the situation when n and T tend to infinity simultaneously, we impose the following condition: A6′.  V^i=Vi+Op(T−1/2hn−1/2) for some hn↓0 uniformly across i and lim⁡n→∞nThn=0 as n→∞.An estimator satisfying these conditions is V^i=ΞV˜^iΞ⊤, where   V˜^i=τ(1−τ)Γ^i−1Ω^iΓ^i−1,Γ^i=1T∑t=1TKhn(u^it)XitXit⊤,Ω^i=1T∑t=1TXitXit⊤, u^it=yit−α^i−xit⊤β^i, and Khn(·) defined as in Kato, Galvao, and Montes-Rojas (2012). For a study of the convergence rate of the Powell’s kernel estimator, see Kato (2012). Now we present the asymptotic distributions of the test statistics. Theorem 1 Under Conditions A1–A6, we have S^→dχ(n−1)k2 as T→∞ and n is fixed; Under Conditions A1–A6, we have Δ^→dN(0,1) as (T,n)seq→∞; Under Conditions A1–A5, and A6′, we have Δ^→dN(0,1) as (T,n)→∞, provided n2log⁡nT|log⁡δn|2→0, where δn=log⁡nT. Proof See Appendix. □ It is worth noting the restrictive condition on the times series (i.e., n2log⁡nT|log⁡δn|2→0, where δn=log⁡nT) for Theorem 1, part 3. This condition is used only to control the remainder term when establishing the first-order approximation of the test statistic. It reflects the fact that the rate of remainder term of the Bahadur representation of the panel data QR estimator is of order (T/log⁡n−3/4). The slower convergence rate of the remainder term is due to the non-smoothness of the scores. It is also important to note that the growth condition on T for establishing nT-consistency of the MD-QR estimator (or other FE estimators in general) is determined so that the remainder term vanishes. Thus, the rate of the remainder term is essential in the asymptotic analysis of the FE estimation when n and T jointly go to infinity. Now we extend the previous results to dependent data such that, within each individual, the data are stationary and β-mixing. We maintain the independence across individuals as in A1. To accommodate the dependence across time, we follow the literature (see, e.g., Pesaran and Yamagata,2008; Blomquist and Westerlund, 2013) and adjust the variance–covariance matrices in the corresponding test statistics. In particular, we are interested in testing the same null hypothesis: H0:βi0=β0 using the Swamy and standardized Swamy tests   S^=∑i=1n(β^i−β^MD)⊤(V^iT)−1(β^i−β^MD),Δ^=n(1nS^−k2k). In this context, we need to estimate V^i consistently. We first formally state the conditions for the statistics to have desirable properties. B1. For each i, {(yit,Xit),t≥1} is stationary and β-mixing time series with β-mixing coefficient βi(j). There exist constants a∈(0,1) and B > 0 such that sup⁡i≥1βi(j)≤Baj for all j≥1. B2.  fi,j(u1,u1+j|X1,X1+j) is uniformly bounded with respect to all the four variables, where fi,j(u1,u1+j|X1,X1+j) is the conditional density of (u1,u1+j) given (Xi,1,Xi,1+j)=(X1,X1+j). Condition B1 relaxes the assumption of i.i.d. within each individual to that of stationary β-mixing and is similar to Hahn and Kuersteiner (2011). Condition B2 is needed because the data are not i.i.d. and we need to impose a condition on the joint distributions. The following theorem collects the asymptotic results for stationary β-mixing data, and provides respective extensions of Theorem 1. Theorem 2 Under Conditions A2–A6 and B1–B2, we have S^→dχ(n−1)k2 as T→∞ and n is fixed; Under Conditions A2–A6 and B1–B2, we have Δ^→dN(0,1) as (T,n)seq→∞; Under Conditions A2–A5, A6′, and B1–B2, we have Δ^→dN(0,1) as (T,n)→∞, provided n2log⁡nT|log⁡δn|2→0, where δn=log⁡nT. Proof See Appendix. □ The results in Theorem 2 require condition A6 or A6′ to hold for stationary and β-mixing data. In the same fashion, an example of the estimator is V^i=ΞV˜^iΞ⊤, where   V˜^i=Γ^i−1Ω^iΓ^i−1,Γ^i=1T∑t=1TKhn(u^it)XitXit⊤,Ω^i=τ(1−τ)T∑t=1TXitXit⊤+∑1≤|j|≤mn(1−|j|T)[1T∑t=max⁡{1,−j+1}min⁡{T,T−j}{τ−1(u^it≤0)}{τ−1(u^i,t+j≤0)}XitXit⊤], as discussed in Remark 3.2 in the proof of Theorem 3.2 of Galvao and Kato (2016). Kato (2012) also studies the rate of convergence of the Powell’s kernel estimator for stationary β-mixing data. For an alternative estimator satisfying conditions A6 and A6′ with dependent data, see Yoon and Galvao (2014). They develop cluster robust inference methods for panel QR models with individual FE and serial correlation. 4 Finite Sample Simulations In this section, we investigate the finite sample properties of both Swamy ( S^) and standardized Swamy ( Δ^) tests proposed above. We report empirical size and empirical power at 5% nominal level of significance for various pairs of n and T. The simulations consider sample sizes given by n∈{100,200} and T∈{50,100}. Of particular interest is the case where T is smaller than n, and more specifically, the case T=50,n=200, that corresponds to our empirical application. We investigate the finite sample properties of the tests for quantiles τ∈{0.10,0.25,0.50,0.75,0.90}. The number of replications is 1000 in each case. As discussed in the previous sections, the computation of the variance–covariance matrix is a very important step when computing both S^ and Δ^ tests. Thus, to study the impact of the estimation of the variance–covariance matrix in the tests, we report results for two different cases. In particular, we consider the Bofinger and the Hall–Sheather bandwidth rules using the bandwidth.rq function in R for every τ.5 In the following tables, for any sample size combination, we present results for the empirical size (top panels) and empirical power (bottom panels). We collect results for the Swamy type ( S^) test and standardized Swamy ( Δ^) test for each case. 4.1 Static Model The static models under study are the location and location-scale models given by the data generating process   yit=αi+βixit+(1+γxit)uit, (4.1) for t=1,⋯,T and i=1,⋯,n. The location model has γ = 0, and the location-scale model considers γ=0.1. The innovations uit are i.i.d. standard normal N(0,1), and xit=0.3αi+zit, where zit∼i.i.d.χ32. In the simulations, we set αi=i−1n−1 (which means that αi are uniformly distributed in the unit interval, and are fixed for different replications as in Pesaran and Yamagata (2008)). We would like to test the null hypothesis H0:βi=βj for all i, j∈{1,⋯,n} against H1:βi≠βj for any i≠j. Under the null, we set βi=1 for all i; under the alternative βi=0.25+i−1n/2−1 for i≤n2 and 1 otherwise. We first investigate the location model (γ = 0). Note that for this case, for each i, the corresponding slopes are βi(τ)=βi, that is, all QR coefficients are equal to the same intra-firm slope coefficient. Furthermore, under the null hypothesis, βi(τ)=β, ∀i. Table 1 displays the results for both S^ and Δ^. For all quantiles, the empirical sizes are close to the nominal 5% significance level, and in particular, for T = 50 sample sizes which correspond to the empirical application. Note, however, that the size improves as T increases but there is no observed pattern with respect to n. The empirical power is 1.0 in all cases showing that the tests are responsive to slope heterogeneity. Table 1. Empirical size and power for static location model (γ = 0) with N(0, 1) innovations   n  100   200     T  50   100   50   100       S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.10  B  0.033  0.033  0.049  0.049  0.069  0.069  0.054  0.054  0.10  HS  0.022  0.022  0.058  0.058  0.015  0.015  0.076  0.076  0.25  B  0.030  0.029  0.054  0.054  0.026  0.026  0.081  0.081  0.25  HS  0.024  0.024  0.036  0.036  0.014  0.015  0.033  0.033  0.50  B  0.075  0.073  0.062  0.062  0.091  0.091  0.058  0.058  0.50  HS  0.018  0.018  0.054  0.053  0.011  0.011  0.052  0.052  0.75  B  0.030  0.029  0.029  0.029  0.021  0.021  0.078  0.078  0.75  HS  0.026  0.026  0.049  0.048  0.014  0.014  0.028  0.028  0.90  B  0.070  0.070  0.068  0.067  0.078  0.078  0.046  0.047  0.90  HS  0.027  0.027  0.054  0.053  0.020  0.020  0.046  0.047    τ  Bandwidth  Empirical power    0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000    n  100   200     T  50   100   50   100       S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.10  B  0.033  0.033  0.049  0.049  0.069  0.069  0.054  0.054  0.10  HS  0.022  0.022  0.058  0.058  0.015  0.015  0.076  0.076  0.25  B  0.030  0.029  0.054  0.054  0.026  0.026  0.081  0.081  0.25  HS  0.024  0.024  0.036  0.036  0.014  0.015  0.033  0.033  0.50  B  0.075  0.073  0.062  0.062  0.091  0.091  0.058  0.058  0.50  HS  0.018  0.018  0.054  0.053  0.011  0.011  0.052  0.052  0.75  B  0.030  0.029  0.029  0.029  0.021  0.021  0.078  0.078  0.75  HS  0.026  0.026  0.049  0.048  0.014  0.014  0.028  0.028  0.90  B  0.070  0.070  0.068  0.067  0.078  0.078  0.046  0.047  0.90  HS  0.027  0.027  0.054  0.053  0.020  0.020  0.046  0.047    τ  Bandwidth  Empirical power    0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  Notes: Monte Carlo simulations based on 1000 replications. Bandwidth: B: Bofinger, HS: Hall–Sheather. Table 1. Empirical size and power for static location model (γ = 0) with N(0, 1) innovations   n  100   200     T  50   100   50   100       S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.10  B  0.033  0.033  0.049  0.049  0.069  0.069  0.054  0.054  0.10  HS  0.022  0.022  0.058  0.058  0.015  0.015  0.076  0.076  0.25  B  0.030  0.029  0.054  0.054  0.026  0.026  0.081  0.081  0.25  HS  0.024  0.024  0.036  0.036  0.014  0.015  0.033  0.033  0.50  B  0.075  0.073  0.062  0.062  0.091  0.091  0.058  0.058  0.50  HS  0.018  0.018  0.054  0.053  0.011  0.011  0.052  0.052  0.75  B  0.030  0.029  0.029  0.029  0.021  0.021  0.078  0.078  0.75  HS  0.026  0.026  0.049  0.048  0.014  0.014  0.028  0.028  0.90  B  0.070  0.070  0.068  0.067  0.078  0.078  0.046  0.047  0.90  HS  0.027  0.027  0.054  0.053  0.020  0.020  0.046  0.047    τ  Bandwidth  Empirical power    0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000    n  100   200     T  50   100   50   100       S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.10  B  0.033  0.033  0.049  0.049  0.069  0.069  0.054  0.054  0.10  HS  0.022  0.022  0.058  0.058  0.015  0.015  0.076  0.076  0.25  B  0.030  0.029  0.054  0.054  0.026  0.026  0.081  0.081  0.25  HS  0.024  0.024  0.036  0.036  0.014  0.015  0.033  0.033  0.50  B  0.075  0.073  0.062  0.062  0.091  0.091  0.058  0.058  0.50  HS  0.018  0.018  0.054  0.053  0.011  0.011  0.052  0.052  0.75  B  0.030  0.029  0.029  0.029  0.021  0.021  0.078  0.078  0.75  HS  0.026  0.026  0.049  0.048  0.014  0.014  0.028  0.028  0.90  B  0.070  0.070  0.068  0.067  0.078  0.078  0.046  0.047  0.90  HS  0.027  0.027  0.054  0.053  0.020  0.020  0.046  0.047    τ  Bandwidth  Empirical power    0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  Notes: Monte Carlo simulations based on 1000 replications. Bandwidth: B: Bofinger, HS: Hall–Sheather. We then consider the location-scale model ( γ=0.1). In this case, for each i, the corresponding slopes are βi(τ)=βi+0.1Φ−1(τ), that is, QR coefficients vary across τ. Furthermore, under the null hypothesis, βi(τ)=β(τ), ∀i. As such, parameter heterogeneity could be the result of two different things: first, differences in βi, second, differences in uit. For our purposes, our model concentrates on the first type of heterogeneity. Table 2 collects the results for this location-scale model. As with the previous case, the empirical size is approximately correct for all sample sizes considered but improves as T increases. Empirical power is again 1.0 for all cases. Table 2. Empirical size and power for static location-scale model ( γ=0.1) with N(0, 1)   n  100   200     T  50   100   50   100       S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.10  B  0.029  0.029  0.051  0.051  0.035  0.035  0.053  0.053  0.10  HS  0.037  0.037  0.050  0.049  0.073  0.073  0.057  0.057  0.25  B  0.029  0.029  0.071  0.071  0.028  0.028  0.056  0.056  0.25  HS  0.041  0.041  0.053  0.053  0.019  0.019  0.044  0.044  0.50  B  0.070  0.070  0.030  0.030  0.052  0.052  0.026  0.026  0.50  HS  0.040  0.040  0.046  0.046  0.036  0.036  0.067  0.067  0.75  B  0.024  0.024  0.062  0.062  0.025  0.025  0.048  0.048  0.75  HS  0.029  0.029  0.059  0.058  0.033  0.033  0.060  0.061  0.90  B  0.043  0.043  0.058  0.057  0.026  0.026  0.040  0.040  0.90  HS  0.039  0.039  0.051  0.051  0.082  0.082  0.060  0.060    τ  Bandwidth  Empirical power    0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000    n  100   200     T  50   100   50   100       S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.10  B  0.029  0.029  0.051  0.051  0.035  0.035  0.053  0.053  0.10  HS  0.037  0.037  0.050  0.049  0.073  0.073  0.057  0.057  0.25  B  0.029  0.029  0.071  0.071  0.028  0.028  0.056  0.056  0.25  HS  0.041  0.041  0.053  0.053  0.019  0.019  0.044  0.044  0.50  B  0.070  0.070  0.030  0.030  0.052  0.052  0.026  0.026  0.50  HS  0.040  0.040  0.046  0.046  0.036  0.036  0.067  0.067  0.75  B  0.024  0.024  0.062  0.062  0.025  0.025  0.048  0.048  0.75  HS  0.029  0.029  0.059  0.058  0.033  0.033  0.060  0.061  0.90  B  0.043  0.043  0.058  0.057  0.026  0.026  0.040  0.040  0.90  HS  0.039  0.039  0.051  0.051  0.082  0.082  0.060  0.060    τ  Bandwidth  Empirical power    0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  Notes: Monte Carlo simulations based on 1000 replications. Bandwidth: B: Bofinger, HS: Hall–Sheather. Table 2. Empirical size and power for static location-scale model ( γ=0.1) with N(0, 1)   n  100   200     T  50   100   50   100       S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.10  B  0.029  0.029  0.051  0.051  0.035  0.035  0.053  0.053  0.10  HS  0.037  0.037  0.050  0.049  0.073  0.073  0.057  0.057  0.25  B  0.029  0.029  0.071  0.071  0.028  0.028  0.056  0.056  0.25  HS  0.041  0.041  0.053  0.053  0.019  0.019  0.044  0.044  0.50  B  0.070  0.070  0.030  0.030  0.052  0.052  0.026  0.026  0.50  HS  0.040  0.040  0.046  0.046  0.036  0.036  0.067  0.067  0.75  B  0.024  0.024  0.062  0.062  0.025  0.025  0.048  0.048  0.75  HS  0.029  0.029  0.059  0.058  0.033  0.033  0.060  0.061  0.90  B  0.043  0.043  0.058  0.057  0.026  0.026  0.040  0.040  0.90  HS  0.039  0.039  0.051  0.051  0.082  0.082  0.060  0.060    τ  Bandwidth  Empirical power    0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000    n  100   200     T  50   100   50   100       S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.10  B  0.029  0.029  0.051  0.051  0.035  0.035  0.053  0.053  0.10  HS  0.037  0.037  0.050  0.049  0.073  0.073  0.057  0.057  0.25  B  0.029  0.029  0.071  0.071  0.028  0.028  0.056  0.056  0.25  HS  0.041  0.041  0.053  0.053  0.019  0.019  0.044  0.044  0.50  B  0.070  0.070  0.030  0.030  0.052  0.052  0.026  0.026  0.50  HS  0.040  0.040  0.046  0.046  0.036  0.036  0.067  0.067  0.75  B  0.024  0.024  0.062  0.062  0.025  0.025  0.048  0.048  0.75  HS  0.029  0.029  0.059  0.058  0.033  0.033  0.060  0.061  0.90  B  0.043  0.043  0.058  0.057  0.026  0.026  0.040  0.040  0.90  HS  0.039  0.039  0.051  0.051  0.082  0.082  0.060  0.060    τ  Bandwidth  Empirical power    0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  Notes: Monte Carlo simulations based on 1000 replications. Bandwidth: B: Bofinger, HS: Hall–Sheather. 4.2 Dynamic Model In this subsection, we investigate the finite sample properties of the tests for a dynamic autoregressive panel model. The model under study is6  yit=αi+δyit−1+βixit+uit, (4.2) for t=1,...,T and i=1,...,n. We follow the set-up in the static model with uit i.i.d. standard normal, xit=0.3αi+zit, where zit∼i.i.d.χ32, and αi=i−1n−1. In generating yit we set yi,−49=0 and discard the first fifty observations, using the observations t = 1 through T for estimation. We would like to test the null hypothesis of the static model, that is, H0:βi=βj for all i, j against H1:βi≠βj for any i≠j, and we have the same null and alternative hypotheses as in the previous experiment. However, we consider different persistence parameters δ∈{0.5,0.95} in order to evaluate the tests performance in dynamic autoregressive panels. Table 3 summarizes the empirical size and power. The simulations indicate that the tests have empirical size below 5% in most cases. In general, the size performance is better for δ=0.50 than for δ=0.95. Power, on the other hand, increases as both T and n grow. The power is higher for moderate persistence δ=0.50 than for high persistence δ=0.95. The rejection rates are higher at the tails than in the central quantiles. Overall, the simulations show that the tests have good performance when the data generating process is a dynamic autoregressive panel. Table 3. Empirical size and power for dynamic model with N(0, 1) innovations     n  100   200       T  50   100   50   100         S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.50  0.10  B  0.050  0.050  0.061  0.061  0.033  0.033  0.043  0.043  0.50  0.10  HS  0.062  0.062  0.050  0.050  0.023  0.023  0.064  0.064  0.95  0.10  B  0.050  0.050  0.048  0.048  0.047  0.047  0.055  0.055  0.95  0.10  HS  0.038  0.038  0.039  0.039  0.027  0.028  0.060  0.060  0.50  0.25  B  0.050  0.050  0.032  0.032  0.017  0.017  0.028  0.028  0.50  0.25  HS  0.032  0.032  0.049  0.048  0.076  0.076  0.045  0.045  0.95  0.25  B  0.064  0.064  0.030  0.030  0.042  0.042  0.020  0.020  0.95  0.25  HS  0.043  0.043  0.041  0.040  0.027  0.027  0.031  0.031  0.50  0.50  B  0.066  0.066  0.029  0.029  0.047  0.047  0.070  0.070  0.50  0.50  HS  0.061  0.061  0.031  0.031  0.064  0.064  0.033  0.033  0.95  0.50  B  0.083  0.083  0.037  0.037  0.050  0.050  0.078  0.078  0.95  0.50  HS  0.074  0.074  0.062  0.062  0.059  0.060  0.027  0.027  0.50  0.75  B  0.041  0.041  0.035  0.034  0.027  0.027  0.031  0.031  0.50  0.75  HS  0.031  0.031  0.052  0.052  0.063  0.063  0.047  0.047  0.95  0.75  B  0.056  0.056  0.032  0.032  0.044  0.044  0.027  0.027  0.95  0.75  HS  0.043  0.043  0.051  0.051  0.032  0.032  0.044  0.044  0.50  0.90  B  0.048  0.047  0.042  0.042  0.022  0.023  0.059  0.059  0.50  0.90  HS  0.048  0.048  0.055  0.055  0.043  0.043  0.034  0.034  0.95  0.90  B  0.054  0.054  0.051  0.051  0.036  0.036  0.060  0.060  0.95  0.90  HS  0.052  0.052  0.060  0.060  0.020  0.020  0.056  0.056    δ  τ  Bandwidth  Empirical power    0.50  0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.25  B  0.779  0.779  1.000  1.000  0.947  0.947  1.000  1.000  0.95  0.25  HS  0.785  0.785  1.000  1.000  0.932  0.932  1.000  1.000  0.50  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.50  B  0.568  0.567  1.000  1.000  0.685  0.685  1.000  1.000  0.95  0.50  HS  0.572  0.572  1.000  1.000  0.706  0.706  1.000  1.000  0.50  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.75  B  0.782  0.784  1.000  1.000  0.951  0.951  1.000  1.000  0.95  0.75  HS  0.799  0.799  1.000  1.000  0.920  0.920  1.000  1.000  0.50  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000      n  100   200       T  50   100   50   100         S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.50  0.10  B  0.050  0.050  0.061  0.061  0.033  0.033  0.043  0.043  0.50  0.10  HS  0.062  0.062  0.050  0.050  0.023  0.023  0.064  0.064  0.95  0.10  B  0.050  0.050  0.048  0.048  0.047  0.047  0.055  0.055  0.95  0.10  HS  0.038  0.038  0.039  0.039  0.027  0.028  0.060  0.060  0.50  0.25  B  0.050  0.050  0.032  0.032  0.017  0.017  0.028  0.028  0.50  0.25  HS  0.032  0.032  0.049  0.048  0.076  0.076  0.045  0.045  0.95  0.25  B  0.064  0.064  0.030  0.030  0.042  0.042  0.020  0.020  0.95  0.25  HS  0.043  0.043  0.041  0.040  0.027  0.027  0.031  0.031  0.50  0.50  B  0.066  0.066  0.029  0.029  0.047  0.047  0.070  0.070  0.50  0.50  HS  0.061  0.061  0.031  0.031  0.064  0.064  0.033  0.033  0.95  0.50  B  0.083  0.083  0.037  0.037  0.050  0.050  0.078  0.078  0.95  0.50  HS  0.074  0.074  0.062  0.062  0.059  0.060  0.027  0.027  0.50  0.75  B  0.041  0.041  0.035  0.034  0.027  0.027  0.031  0.031  0.50  0.75  HS  0.031  0.031  0.052  0.052  0.063  0.063  0.047  0.047  0.95  0.75  B  0.056  0.056  0.032  0.032  0.044  0.044  0.027  0.027  0.95  0.75  HS  0.043  0.043  0.051  0.051  0.032  0.032  0.044  0.044  0.50  0.90  B  0.048  0.047  0.042  0.042  0.022  0.023  0.059  0.059  0.50  0.90  HS  0.048  0.048  0.055  0.055  0.043  0.043  0.034  0.034  0.95  0.90  B  0.054  0.054  0.051  0.051  0.036  0.036  0.060  0.060  0.95  0.90  HS  0.052  0.052  0.060  0.060  0.020  0.020  0.056  0.056    δ  τ  Bandwidth  Empirical power    0.50  0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.25  B  0.779  0.779  1.000  1.000  0.947  0.947  1.000  1.000  0.95  0.25  HS  0.785  0.785  1.000  1.000  0.932  0.932  1.000  1.000  0.50  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.50  B  0.568  0.567  1.000  1.000  0.685  0.685  1.000  1.000  0.95  0.50  HS  0.572  0.572  1.000  1.000  0.706  0.706  1.000  1.000  0.50  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.75  B  0.782  0.784  1.000  1.000  0.951  0.951  1.000  1.000  0.95  0.75  HS  0.799  0.799  1.000  1.000  0.920  0.920  1.000  1.000  0.50  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  Notes: Monte Carlo simulations based on 1000 replications. Bandwidth: B: Bofinger, HS: Hall–Sheather. Table 3. Empirical size and power for dynamic model with N(0, 1) innovations     n  100   200       T  50   100   50   100         S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.50  0.10  B  0.050  0.050  0.061  0.061  0.033  0.033  0.043  0.043  0.50  0.10  HS  0.062  0.062  0.050  0.050  0.023  0.023  0.064  0.064  0.95  0.10  B  0.050  0.050  0.048  0.048  0.047  0.047  0.055  0.055  0.95  0.10  HS  0.038  0.038  0.039  0.039  0.027  0.028  0.060  0.060  0.50  0.25  B  0.050  0.050  0.032  0.032  0.017  0.017  0.028  0.028  0.50  0.25  HS  0.032  0.032  0.049  0.048  0.076  0.076  0.045  0.045  0.95  0.25  B  0.064  0.064  0.030  0.030  0.042  0.042  0.020  0.020  0.95  0.25  HS  0.043  0.043  0.041  0.040  0.027  0.027  0.031  0.031  0.50  0.50  B  0.066  0.066  0.029  0.029  0.047  0.047  0.070  0.070  0.50  0.50  HS  0.061  0.061  0.031  0.031  0.064  0.064  0.033  0.033  0.95  0.50  B  0.083  0.083  0.037  0.037  0.050  0.050  0.078  0.078  0.95  0.50  HS  0.074  0.074  0.062  0.062  0.059  0.060  0.027  0.027  0.50  0.75  B  0.041  0.041  0.035  0.034  0.027  0.027  0.031  0.031  0.50  0.75  HS  0.031  0.031  0.052  0.052  0.063  0.063  0.047  0.047  0.95  0.75  B  0.056  0.056  0.032  0.032  0.044  0.044  0.027  0.027  0.95  0.75  HS  0.043  0.043  0.051  0.051  0.032  0.032  0.044  0.044  0.50  0.90  B  0.048  0.047  0.042  0.042  0.022  0.023  0.059  0.059  0.50  0.90  HS  0.048  0.048  0.055  0.055  0.043  0.043  0.034  0.034  0.95  0.90  B  0.054  0.054  0.051  0.051  0.036  0.036  0.060  0.060  0.95  0.90  HS  0.052  0.052  0.060  0.060  0.020  0.020  0.056  0.056    δ  τ  Bandwidth  Empirical power    0.50  0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.25  B  0.779  0.779  1.000  1.000  0.947  0.947  1.000  1.000  0.95  0.25  HS  0.785  0.785  1.000  1.000  0.932  0.932  1.000  1.000  0.50  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.50  B  0.568  0.567  1.000  1.000  0.685  0.685  1.000  1.000  0.95  0.50  HS  0.572  0.572  1.000  1.000  0.706  0.706  1.000  1.000  0.50  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.75  B  0.782  0.784  1.000  1.000  0.951  0.951  1.000  1.000  0.95  0.75  HS  0.799  0.799  1.000  1.000  0.920  0.920  1.000  1.000  0.50  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000      n  100   200       T  50   100   50   100         S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  δ  τ  Bandwidth  Empirical size    0.50  0.10  B  0.050  0.050  0.061  0.061  0.033  0.033  0.043  0.043  0.50  0.10  HS  0.062  0.062  0.050  0.050  0.023  0.023  0.064  0.064  0.95  0.10  B  0.050  0.050  0.048  0.048  0.047  0.047  0.055  0.055  0.95  0.10  HS  0.038  0.038  0.039  0.039  0.027  0.028  0.060  0.060  0.50  0.25  B  0.050  0.050  0.032  0.032  0.017  0.017  0.028  0.028  0.50  0.25  HS  0.032  0.032  0.049  0.048  0.076  0.076  0.045  0.045  0.95  0.25  B  0.064  0.064  0.030  0.030  0.042  0.042  0.020  0.020  0.95  0.25  HS  0.043  0.043  0.041  0.040  0.027  0.027  0.031  0.031  0.50  0.50  B  0.066  0.066  0.029  0.029  0.047  0.047  0.070  0.070  0.50  0.50  HS  0.061  0.061  0.031  0.031  0.064  0.064  0.033  0.033  0.95  0.50  B  0.083  0.083  0.037  0.037  0.050  0.050  0.078  0.078  0.95  0.50  HS  0.074  0.074  0.062  0.062  0.059  0.060  0.027  0.027  0.50  0.75  B  0.041  0.041  0.035  0.034  0.027  0.027  0.031  0.031  0.50  0.75  HS  0.031  0.031  0.052  0.052  0.063  0.063  0.047  0.047  0.95  0.75  B  0.056  0.056  0.032  0.032  0.044  0.044  0.027  0.027  0.95  0.75  HS  0.043  0.043  0.051  0.051  0.032  0.032  0.044  0.044  0.50  0.90  B  0.048  0.047  0.042  0.042  0.022  0.023  0.059  0.059  0.50  0.90  HS  0.048  0.048  0.055  0.055  0.043  0.043  0.034  0.034  0.95  0.90  B  0.054  0.054  0.051  0.051  0.036  0.036  0.060  0.060  0.95  0.90  HS  0.052  0.052  0.060  0.060  0.020  0.020  0.056  0.056    δ  τ  Bandwidth  Empirical power    0.50  0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.10  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.10  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.25  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.25  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.25  B  0.779  0.779  1.000  1.000  0.947  0.947  1.000  1.000  0.95  0.25  HS  0.785  0.785  1.000  1.000  0.932  0.932  1.000  1.000  0.50  0.50  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.50  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.50  B  0.568  0.567  1.000  1.000  0.685  0.685  1.000  1.000  0.95  0.50  HS  0.572  0.572  1.000  1.000  0.706  0.706  1.000  1.000  0.50  0.75  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.75  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.75  B  0.782  0.784  1.000  1.000  0.951  0.951  1.000  1.000  0.95  0.75  HS  0.799  0.799  1.000  1.000  0.920  0.920  1.000  1.000  0.50  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.90  B  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.95  0.90  HS  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  Notes: Monte Carlo simulations based on 1000 replications. Bandwidth: B: Bofinger, HS: Hall–Sheather. 5 Asset Pricing Models Using Firm Characteristics Recently, in a search for modeling and capturing heterogeneity, quantiles have become central in economics, finance, and econometrics. From a theoretical perspective, there have been developments on quantile objective functions and asset pricing. Manski (1988) and Rostek (2010) develop the decision-theoretic attributes of quantile maximization and examine risk preferences of quantile maximizers. Following these seminal contributions, de Castro and Galvao (2017) develop a dynamic model of rational behavior under uncertainty, in which the agent maximizes the stream of the future quantile utilities. That is, the agent has a quantile utility preference instead of the standard expected utility. Giovannetti (2013) presents a two-period standard economy with one risky and one risk-free asset. In this model, the equity premium is no longer based on the covariance between the risky return and the consumption growth. Instead, it is a linear function of the risky return standard deviation. Empirically, Bassett, Koenker, and Kordas (2004) show that a general form of pessimistic optimization based on Choquet approach may be formulated as a problem of linear QR. In a similar spirit to Bassett, Koenker, and Kordas (2004), we propose the following linear asset pricing equation based on no-arbitrage arguments:   Qri,t+1e(τ|xit,αi(τ))=αi(τ)+xit⊤βi(τ) i=1,⋯,n; t=1,…,T, (5.1) with τ∈(0,1). This function models the quantiles of the excess asset returns conditional on the set of pricing factors xit. βi0(τ) captures the marginal effects of the pricing factors on the τ-th quantile of ri,t+1e. We make a few remarks. First, as for the conditional expected value, the asset pricing formulation holds for the quantile process (5.1) if the vector βi(τ) is the same across assets. This condition can be interpreted as evidence of a common stochastic discount factor for pricing the cross-section of risky assets, see Harrison and Kreps (1979) for the mean process, and entails, under some additional restrictions, the absence of arbitrage opportunities. In this way, our slope homogeneity test can be considered as a statistical device to empirically assess whether the asset pricing specification (5.1) holds for different quantiles of the distribution of excess asset returns. Second, the coefficients βi(τ) may vary across the quantiles implying that the marginal effect of βi(τ) on the excess returns may vary along the conditional distribution of ri,t+1e. Finally, it is important to notice that in our context, characterized by firm characteristics as risk factors, and unlike in Fama and French (1993, 2015), the intercept of the pricing equation is not required to be zero. This feature is easily accommodated by our slope homogeneity test that makes allowance for the presence of FE, αi(τ), that are stock and quantile specific. The empirical representation of the quantile pricing equation (5.1) based on panel data analysis is   ri,t+1e=αi(τ)+xit⊤βi(τ)+ɛi,t+1, (5.2) where the innovation term ɛi,t+1 satisfies Qτ[ɛi,t+1|αi(τ),xit]=0. The relevant set of slope homogeneity tests, indexed by τ, is   H0(τ):β10(τ)=…=βn0(τ)=β0(τ). (5.3) In this application, we apply this test to assess the empirical validity of the asset pricing model proposed by Kogan and Papanikolaou (2013, 2014). These authors consider firm-specific characteristics as the risk factors that describe the risk premium on the cross-section of stock returns. In recent years, this approach has gained support due to the strong evidence of co-movement in stock returns of firms with similar characteristics that is unrelated to their exposures to the market portfolio. These empirical patterns are also motivated by the failure of existing models to rationalize the co-movement in returns resulting from sorting firms on firm characteristics. Kogan and Papanikolaou (2014), for example, provide a theoretical framework to study empirical return patterns associated with firm characteristics related to growth opportunities. The panel of U.S. firms is obtained from Compustat Industrial dataset. The sample consists of annual CRSP/Compustat data from the years 1970 through 2011. Following standard practice, we exclude financial firms (SIC codes 6000–6999), regulated utilities (SIC codes 4900–4999), and nonprofit organizations (SIC codes greater than or equal to 9000). We omit firm-years with a missing or negative value for fixed assets and sales, with a missing or less than ten million 1983 dollar book value of total assets, and with growth rates of fixed assets, sales, and book value of total assets greater than 100%. The log of total assets is the one variable that is not a ratio, and is deflated to the 1983 dollar with the consumer price index obtained from the Bureau of Labor Statistics. The final sample includes a balanced panel of 297 firms with 42 years of data. Three firms are dropped from our original sample due to a lack of convergence for QR models, implying that n = 294. In addition, the predictive character of the empirical pricing equations implies that T = 41. The firms’ excess returns are the annual excess return on assets computed over the annual interest rate offered by 1-month U.S. Treasury bills. Although there is no consensus in the literature on the length of the time dimension, we acknowledge that our time dimension selection criteria might favor larger and more mature companies, which may lead to the results being valid only for large and mature companies. However, the average estimated effects from our sample are in line with the literature consensus, and thus, the results could be applied to all companies. Summary statistics are provided in Table 4. Table 4. Summary statistics. Firm characteristics Variable  Obs  Mean  Std. dev.  Min  Max  RTN  12,177  0.003  0.795  −10.17  10.48  MDR  12,177  0.270  0.207  0.000  0.998  EBITTA  12,177  0.112  0.096  −1.466  1.103  MB  12,177  1.224  0.925  0.025  36.91  DEPTA  12,177  0.043  0.020  0.000  0.338  LNTA  12,177  20.59  1.934  14.36  26.25  FATA  12,177  0.343  0.188  0.000  0.935  MKT  12,177  6.626  16.797  −51.234  30.160  Variable  Obs  Mean  Std. dev.  Min  Max  RTN  12,177  0.003  0.795  −10.17  10.48  MDR  12,177  0.270  0.207  0.000  0.998  EBITTA  12,177  0.112  0.096  −1.466  1.103  MB  12,177  1.224  0.925  0.025  36.91  DEPTA  12,177  0.043  0.020  0.000  0.338  LNTA  12,177  20.59  1.934  14.36  26.25  FATA  12,177  0.343  0.188  0.000  0.935  MKT  12,177  6.626  16.797  −51.234  30.160  Notes: Sample consists of 1970–2011 for 294 firms. MDR: market debt ratio = book value of (short-term plus long-term) debt (Compustat items [9]+[34])/market value of assets (Compustat items [9]+[34]+[199]*[25]). EBITTA: profitability: earnings before interest and taxes (Compustat items [18]+[15]+[16]), as a proportion of total assets (Compustat item [6]). MB: market-to-book ratio of assets = book liabilities plus market value of equity (Compustat items [9]+[34]+[10]+[199]*[25]) divided by book value of total assets (Compustat item [6]). DEPTA: depreciation (Compustat item [14]) as a proportion of total assets (Compustat item [6]). LNTA: log of asset size, measured in 1983 dollars (Compustat item (6)*1,000,000, deflated by the consumer price index. FATA: fixed asset proportion: property, plant, and equipment (Compustat item [8)]/total assets (Compustat Item [6]). MKT: market portfolio excess return. Table 4. Summary statistics. Firm characteristics Variable  Obs  Mean  Std. dev.  Min  Max  RTN  12,177  0.003  0.795  −10.17  10.48  MDR  12,177  0.270  0.207  0.000  0.998  EBITTA  12,177  0.112  0.096  −1.466  1.103  MB  12,177  1.224  0.925  0.025  36.91  DEPTA  12,177  0.043  0.020  0.000  0.338  LNTA  12,177  20.59  1.934  14.36  26.25  FATA  12,177  0.343  0.188  0.000  0.935  MKT  12,177  6.626  16.797  −51.234  30.160  Variable  Obs  Mean  Std. dev.  Min  Max  RTN  12,177  0.003  0.795  −10.17  10.48  MDR  12,177  0.270  0.207  0.000  0.998  EBITTA  12,177  0.112  0.096  −1.466  1.103  MB  12,177  1.224  0.925  0.025  36.91  DEPTA  12,177  0.043  0.020  0.000  0.338  LNTA  12,177  20.59  1.934  14.36  26.25  FATA  12,177  0.343  0.188  0.000  0.935  MKT  12,177  6.626  16.797  −51.234  30.160  Notes: Sample consists of 1970–2011 for 294 firms. MDR: market debt ratio = book value of (short-term plus long-term) debt (Compustat items [9]+[34])/market value of assets (Compustat items [9]+[34]+[199]*[25]). EBITTA: profitability: earnings before interest and taxes (Compustat items [18]+[15]+[16]), as a proportion of total assets (Compustat item [6]). MB: market-to-book ratio of assets = book liabilities plus market value of equity (Compustat items [9]+[34]+[10]+[199]*[25]) divided by book value of total assets (Compustat item [6]). DEPTA: depreciation (Compustat item [14]) as a proportion of total assets (Compustat item [6]). LNTA: log of asset size, measured in 1983 dollars (Compustat item (6)*1,000,000, deflated by the consumer price index. FATA: fixed asset proportion: property, plant, and equipment (Compustat item [8)]/total assets (Compustat Item [6]). MKT: market portfolio excess return. We work with three different model specifications of the vector of factors xit in (5.2), defined as three-, six- and seven-variable specifications. The first case, three-variable specification, corresponds to a model that considers the pricing factors discussed in Fama and French (1992). That is, we entertain a market portfolio return, MKT and two more covariates given by the firm’s market-to-book ratio, denoted as MB, and the log of the firm’s asset size, denoted as LNTA. The second model, six-variable specification, only entertains firm-specific characteristics. Thus, as a measure of profitability we consider MB and LNTA as above, and add earnings before interest and taxes as a proportion of total assets, denoted as EBITTA; market debt ratio, defined as book value of debt over market value of assets and denoted as MDR (to capture firms’ leverage); depreciation as a proportion of total assets, denoted as DEPTA; and a variable that captures the proportion of property, plant, and equipment over total assets, FATA. The third model, seven-variable specification, extends the second model by including the market portfolio return MKT as an additional regressor. 5.1 Three-variable Specification Consider first the three-variable specification proposed by Fama and French (1992). The first two columns of Table 5 present the evaluation of the joint hypothesis of equal slopes for all three covariates. The table reports the p-values of the S and Δ tests. The null hypothesis is not rejected for central quantiles and the mean parameter vector.7 These findings reveal the existence of a common set of parameters for predicting the risk premium in central quantiles of the distribution of firms’ excess asset returns, and hence, are informative about the risk premium on the cross-section of risky assets. The null hypothesis of slope homogeneity is rejected for extreme quantiles of the distribution of excess returns. In the context of Fama and French (1996) and Kogan and Papanikolaou (2013), this result suggests that the factors that capture firm-specific characteristics are an adequate description of the risk premium for the mean and central quantiles but not for the tails of the distribution of excess returns on common stocks. The differences observed in the slope coefficients of the panel data regression models for extreme quantiles suggest that it is not possible to pool the information on the cross-section and time-series dimensions. We interpret this as empirical evidence that rejects the possibility of using firm characteristics as pricing factors for the tail quantiles of the distribution of firms’ stock returns. Table 5. The p-values test results. Three-variable specification   Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.001  0.000  1.000  1.000  1.000  1.000    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  1.000  0.999  0.15  0.749  0.752  0.002  0.001  0.199  0.201  1.000  1.000  0.20  1.000  1.000  0.670  0.677  0.999  0.997  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.775  0.778  1.000  1.000  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  0.987  0.983  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  0.995  0.992  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.998  0.996  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  0.998  0.996  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  0.995  0.993  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.950  0.945  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.851  0.850  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.702  0.708  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.127  0.125  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  1.000  0.999  0.010  0.007  1.000  1.000  0.999  0.998  0.80  0.125  0.124  0.000  0.000  0.822  0.822  0.237  0.241  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000    Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.001  0.000  1.000  1.000  1.000  1.000    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  1.000  0.999  0.15  0.749  0.752  0.002  0.001  0.199  0.201  1.000  1.000  0.20  1.000  1.000  0.670  0.677  0.999  0.997  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.775  0.778  1.000  1.000  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  0.987  0.983  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  0.995  0.992  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.998  0.996  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  0.998  0.996  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  0.995  0.993  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.950  0.945  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.851  0.850  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.702  0.708  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.127  0.125  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  1.000  0.999  0.010  0.007  1.000  1.000  0.999  0.998  0.80  0.125  0.124  0.000  0.000  0.822  0.822  0.237  0.241  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics three-variable specification. Mean and quantile slope homogeneity tests across firms i of the model RTNi,t=αi+βi,MBMBi,t+βi,LNTALNTAi,t+βi,MKTMKTt+ɛi,t+1. S is the Swamy-type test and Δ the standardized Swamy test. The p-values are reported. Table 5. The p-values test results. Three-variable specification   Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.001  0.000  1.000  1.000  1.000  1.000    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  1.000  0.999  0.15  0.749  0.752  0.002  0.001  0.199  0.201  1.000  1.000  0.20  1.000  1.000  0.670  0.677  0.999  0.997  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.775  0.778  1.000  1.000  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  0.987  0.983  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  0.995  0.992  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.998  0.996  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  0.998  0.996  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  0.995  0.993  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.950  0.945  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.851  0.850  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.702  0.708  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.127  0.125  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  1.000  0.999  0.010  0.007  1.000  1.000  0.999  0.998  0.80  0.125  0.124  0.000  0.000  0.822  0.822  0.237  0.241  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000    Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.001  0.000  1.000  1.000  1.000  1.000    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  1.000  0.999  0.15  0.749  0.752  0.002  0.001  0.199  0.201  1.000  1.000  0.20  1.000  1.000  0.670  0.677  0.999  0.997  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.775  0.778  1.000  1.000  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  0.987  0.983  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  0.995  0.992  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.998  0.996  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  0.998  0.996  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  0.995  0.993  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.950  0.945  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.851  0.850  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.702  0.708  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.127  0.125  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  1.000  0.999  0.010  0.007  1.000  1.000  0.999  0.998  0.80  0.125  0.124  0.000  0.000  0.822  0.822  0.237  0.241  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics three-variable specification. Mean and quantile slope homogeneity tests across firms i of the model RTNi,t=αi+βi,MBMBi,t+βi,LNTALNTAi,t+βi,MKTMKTt+ɛi,t+1. S is the Swamy-type test and Δ the standardized Swamy test. The p-values are reported. To add robustness to our analysis and gather more empirical evidence on the predictive power of different firm characteristics, we also perform a marginal analysis of slope homogeneity for each firm characteristic. The p-values for the marginal tests of slope homogeneity, reported in Columns 3–8 of Table 5, exhibit patterns very similar to those discussed for the joint test. More specifically, these marginal tests provide empirical evidence to reject the null hypothesis in the tails of the distribution but not in the central quantiles. Interestingly, this robustness analysis uncovers the existence of heterogeneity in the effect of the firm’s market-to-book ratio on the risk premium of risky assets. To understand this finding in more detail and to obtain a better insight into the effect of firm characteristics on the risk premium, we divide the sample into two subsamples according to the average value of the market-to-book ratio across firms. This sample split allows us to classify firms into value stocks and growth stocks. More specifically, we classify as value stocks those firms with market-to-book ratio below the sample mean. In contrast, growth stocks are those with market-to-book ratio above the sample mean.8 In particular, Table 6 reports the p-values of the slope homogeneity tests for value stocks, and Table 7 reports the p-values of the tests for growth stocks. Table 6. The p-values test results. Three-variable specification. Subsample 1   Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.573  0.588  1.000  0.999  1.000  0.999    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.001  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.930  0.923  0.15  0.005  0.004  0.001  0.000  0.003  0.001  0.997  0.993  0.20  0.988  0.984  0.240  0.247  0.695  0.705  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.219  0.224  0.996  0.992  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  0.615  0.628  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  0.601  0.615  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.672  0.683  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  0.741  0.748  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  0.695  0.704  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.507  0.522  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.287  0.296  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.274  0.283  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.035  0.029  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  0.957  0.952  0.004  0.002  0.992  0.987  0.987  0.981  0.80  0.212  0.215  0.000  0.000  0.905  0.900  0.486  0.501  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.004  0.002  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000    Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.573  0.588  1.000  0.999  1.000  0.999    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.001  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.930  0.923  0.15  0.005  0.004  0.001  0.000  0.003  0.001  0.997  0.993  0.20  0.988  0.984  0.240  0.247  0.695  0.705  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.219  0.224  0.996  0.992  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  0.615  0.628  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  0.601  0.615  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.672  0.683  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  0.741  0.748  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  0.695  0.704  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.507  0.522  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.287  0.296  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.274  0.283  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.035  0.029  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  0.957  0.952  0.004  0.002  0.992  0.987  0.987  0.981  0.80  0.212  0.215  0.000  0.000  0.905  0.900  0.486  0.501  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.004  0.002  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics three-variable specification. Mean and quantile slope homogeneity tests across firms i of the model RTNi,t+1=αi+βi,MBMBi,t+βi,LNTALNTAi,t+βi,MKTMKTt+ɛi,t+1, i=1,2,...,294. S is the Swamy-type test and Δ the standardized Swamy test. The p-values are reported. Subsample of firms with average MB below the median. Table 6. The p-values test results. Three-variable specification. Subsample 1   Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.573  0.588  1.000  0.999  1.000  0.999    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.001  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.930  0.923  0.15  0.005  0.004  0.001  0.000  0.003  0.001  0.997  0.993  0.20  0.988  0.984  0.240  0.247  0.695  0.705  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.219  0.224  0.996  0.992  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  0.615  0.628  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  0.601  0.615  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.672  0.683  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  0.741  0.748  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  0.695  0.704  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.507  0.522  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.287  0.296  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.274  0.283  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.035  0.029  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  0.957  0.952  0.004  0.002  0.992  0.987  0.987  0.981  0.80  0.212  0.215  0.000  0.000  0.905  0.900  0.486  0.501  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.004  0.002  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000    Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.573  0.588  1.000  0.999  1.000  0.999    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.001  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.930  0.923  0.15  0.005  0.004  0.001  0.000  0.003  0.001  0.997  0.993  0.20  0.988  0.984  0.240  0.247  0.695  0.705  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.219  0.224  0.996  0.992  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  0.615  0.628  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  0.601  0.615  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.672  0.683  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  0.741  0.748  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  0.695  0.704  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.507  0.522  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.287  0.296  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.274  0.283  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.035  0.029  1.000  1.000  1.000  1.000  0.75  0.957  0.952  0.004  0.002  0.992  0.987  0.987  0.981  0.80  0.212  0.215  0.000  0.000  0.905  0.900  0.486  0.501  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.004  0.002  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics three-variable specification. Mean and quantile slope homogeneity tests across firms i of the model RTNi,t+1=αi+βi,MBMBi,t+βi,LNTALNTAi,t+βi,MKTMKTt+ɛi,t+1, i=1,2,...,294. S is the Swamy-type test and Δ the standardized Swamy test. The p-values are reported. Subsample of firms with average MB below the median. Table 7. The p-values test results. Three-variable specification. Subsample 2   Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    0.998  0.997  0.000  0.000  1.000  0.999  1.000  1.000    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.510  0.519  0.030  0.024  0.195  0.198  1.000  0.999  0.15  1.000  1.000  0.483  0.499  0.992  0.987  1.000  1.000  0.20  1.000  1.000  0.971  0.963  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.996  0.992  1.000  1.000  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  1.000  0.999  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  1.000  0.999  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.995  0.991  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.990  0.984  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.945  0.937  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.662  0.674  1.000  1.000  1.000  0.999  0.75  0.999  0.999  0.326  0.338  0.999  0.996  0.987  0.981  0.80  0.199  0.200  0.052  0.045  0.479  0.495  0.145  0.145  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000    Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    0.998  0.997  0.000  0.000  1.000  0.999  1.000  1.000    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.510  0.519  0.030  0.024  0.195  0.198  1.000  0.999  0.15  1.000  1.000  0.483  0.499  0.992  0.987  1.000  1.000  0.20  1.000  1.000  0.971  0.963  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.996  0.992  1.000  1.000  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  1.000  0.999  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  1.000  0.999  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.995  0.991  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.990  0.984  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.945  0.937  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.662  0.674  1.000  1.000  1.000  0.999  0.75  0.999  0.999  0.326  0.338  0.999  0.996  0.987  0.981  0.80  0.199  0.200  0.052  0.045  0.479  0.495  0.145  0.145  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics three-variable specification. Mean and quantile slope homogeneity tests across firms i of the model RTNi,t+1=αi+βi,MBMBi,t+βi,LNTALNTAi,t+βi,MKTMKTt+ɛi,t+1, i=1,2,...,294. S is the Swamy-type test and Δ the standardized Swamy test. The p-values are reported. Subsample of firms with average MB above the median. Table 7. The p-values test results. Three-variable specification. Subsample 2   Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    0.998  0.997  0.000  0.000  1.000  0.999  1.000  1.000    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.510  0.519  0.030  0.024  0.195  0.198  1.000  0.999  0.15  1.000  1.000  0.483  0.499  0.992  0.987  1.000  1.000  0.20  1.000  1.000  0.971  0.963  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.996  0.992  1.000  1.000  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  1.000  0.999  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  1.000  0.999  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.995  0.991  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.990  0.984  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.945  0.937  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.662  0.674  1.000  1.000  1.000  0.999  0.75  0.999  0.999  0.326  0.338  0.999  0.996  0.987  0.981  0.80  0.199  0.200  0.052  0.045  0.479  0.495  0.145  0.145  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000    Joint   MB   LNTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    0.998  0.997  0.000  0.000  1.000  0.999  1.000  1.000    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.510  0.519  0.030  0.024  0.195  0.198  1.000  0.999  0.15  1.000  1.000  0.483  0.499  0.992  0.987  1.000  1.000  0.20  1.000  1.000  0.971  0.963  1.000  1.000  1.000  1.000  0.25  1.000  1.000  0.996  0.992  1.000  1.000  1.000  1.000  0.30  1.000  1.000  1.000  0.999  1.000  1.000  1.000  1.000  0.35  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.45  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.50  1.000  1.000  1.000  0.999  1.000  1.000  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.995  0.991  1.000  1.000  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.990  0.984  1.000  1.000  1.000  1.000  0.65  1.000  1.000  0.945  0.937  1.000  1.000  1.000  1.000  0.70  1.000  1.000  0.662  0.674  1.000  1.000  1.000  0.999  0.75  0.999  0.999  0.326  0.338  0.999  0.996  0.987  0.981  0.80  0.199  0.200  0.052  0.045  0.479  0.495  0.145  0.145  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics three-variable specification. Mean and quantile slope homogeneity tests across firms i of the model RTNi,t+1=αi+βi,MBMBi,t+βi,LNTALNTAi,t+βi,MKTMKTt+ɛi,t+1, i=1,2,...,294. S is the Swamy-type test and Δ the standardized Swamy test. The p-values are reported. Subsample of firms with average MB above the median. Interestingly, the results of the test for each subsample reveal differences on the effect of the financial ratio on predicting the stock excess return. Growth stocks exhibit an idiosyncratic slope coefficient for each asset. In contrast, we cannot reject the null hypothesis of slope homogeneity for value stocks. We can interpret these results as empirical evidence of pricing differences between more established stocks, value stocks, that can be priced homogeneously by our asset pricing model, and newer, smaller, riskier stocks, categorized as growth stocks, that reject the null hypothesis of slope homogeneity, and with it the empirical suitability of our panel data asset pricing model. The absence of statistical evidence to reject the null hypothesis of slope homogeneity for the mean and central quantiles allows us to pool the cross-section and time-series dimensions to estimate the empirical three-factor specification using the panel of observations. Table 8 presents OLS and QR estimates of the linear specification under the presence of FE. The results provide overwhelming evidence of the significance of the covariates in predicting the risk premium on the cross-section of asset returns. The sign of the parameters reveals interesting findings on the relationship between firm characteristics and excess asset returns. More specifically, firms’ MB has a negative effect on the risk premium. This finding is consistent across quantiles and suggests that investors require a higher risk premium as the firms’ market-to-book value decreases. Interestingly, for high quantiles of the distribution of asset returns, the value of this financial ratio does not have a statistical effect on the risk premium. Note, however, that for tail quantiles the slope homogeneity test is rejected invalidating model estimates for these quantiles obtained from pooling the data across stocks. Table 8. FE and FE-QR estimation results. Three-variable specification Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  MB  −0.137***  −0.194***  −0.161***  −0.140***  −0.129***  −0.116***    (0.010)  (0.013)  (0.003)  (0.000)  (0.006)  (0.028)  LNTA  0.076***  0.136***  0.0886***  0.0680***  0.0415***  0.017    (0.010)  (0.014)  (0.004)  (0.001)  (0.005)  (0.018)  MKT  0.001*  0.003***  0.002***  0.0001***  −0.0005***  −0.002***    (0.0004)  (0.0007)  (0.0002)  (0.000)  (0.0002)  (0.0007)  Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  MB  −0.137***  −0.194***  −0.161***  −0.140***  −0.129***  −0.116***    (0.010)  (0.013)  (0.003)  (0.000)  (0.006)  (0.028)  LNTA  0.076***  0.136***  0.0886***  0.0680***  0.0415***  0.017    (0.010)  (0.014)  (0.004)  (0.001)  (0.005)  (0.018)  MKT  0.001*  0.003***  0.002***  0.0001***  −0.0005***  −0.002***    (0.0004)  (0.0007)  (0.0002)  (0.000)  (0.0002)  (0.0007)  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics three-variable specification. Mean and quantile FE model RTNi,t+1=αi+βMBMBi,t+βLNTALNTAi,t+βMKTMKTt+ɛi,t+1. Standard errors in parentheses. *significant at 10%, **significant at 5%, ***significant at 1%. Table 8. FE and FE-QR estimation results. Three-variable specification Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  MB  −0.137***  −0.194***  −0.161***  −0.140***  −0.129***  −0.116***    (0.010)  (0.013)  (0.003)  (0.000)  (0.006)  (0.028)  LNTA  0.076***  0.136***  0.0886***  0.0680***  0.0415***  0.017    (0.010)  (0.014)  (0.004)  (0.001)  (0.005)  (0.018)  MKT  0.001*  0.003***  0.002***  0.0001***  −0.0005***  −0.002***    (0.0004)  (0.0007)  (0.0002)  (0.000)  (0.0002)  (0.0007)  Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  MB  −0.137***  −0.194***  −0.161***  −0.140***  −0.129***  −0.116***    (0.010)  (0.013)  (0.003)  (0.000)  (0.006)  (0.028)  LNTA  0.076***  0.136***  0.0886***  0.0680***  0.0415***  0.017    (0.010)  (0.014)  (0.004)  (0.001)  (0.005)  (0.018)  MKT  0.001*  0.003***  0.002***  0.0001***  −0.0005***  −0.002***    (0.0004)  (0.0007)  (0.0002)  (0.000)  (0.0002)  (0.0007)  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics three-variable specification. Mean and quantile FE model RTNi,t+1=αi+βMBMBi,t+βLNTALNTAi,t+βMKTMKTt+ɛi,t+1. Standard errors in parentheses. *significant at 10%, **significant at 5%, ***significant at 1%. The analysis of the effect of firms’ asset size on the risk premium of the cross-section also provides interesting insights. In this case, we observe a positive relationship between risk premium and asset size. This empirical finding is similar to those reported by Fama and MacBeth (1973) and Fama and French (1992). Table 8 also reveals a small but statistically significant effect of the market portfolio return on the risk premium on risky assets. Interestingly, the sign of the slope parameter for this market factor becomes negative for the highest quantiles of the distribution of excess asset returns and suggests the decoupling between the market portfolio return and firms’ asset returns for very large firms’ returns. Nevertheless, as noted above by the QR slope homogeneity test, the sensitivity of asset returns to the pricing factors is different for each firm in the tails of the distribution casting doubts on the reliability of the pooled estimates for the tail quantiles. 5.2 Six-variable Specification Consider now the econometric specification solely characterized by the above six-firm characteristics. The first two columns of Table 9 present the p-values of the joint slope homogeneity tests S and Δ for the mean and quantile processes. The results are the same as in the previous specification. The slope homogeneity tests do not reject the null hypothesis for the mean and central quantiles, but report overwhelming evidence that rejects the null hypothesis in the tails of the distribution of firms’ asset returns. Table 9. The p-values test results. Six-variable specification   Joint   EBITTA   MB   LNTA   FATA   MDR   DEPTA     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.962  0.957  0.019  0.015  0.978  0.974  0.960  0.955  0.206  0.209  0.992  0.989    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.15  0.000  0.000  0.001  0.000  0.073  0.069  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.032  0.028  0.20  0.000  0.000  0.199  0.201  0.991  0.987  0.021  0.017  0.000  0.000  0.107  0.105  0.605  0.614  0.25  0.000  0.000  0.737  0.742  0.999  0.998  0.517  0.528  0.029  0.024  0.803  0.805  0.990  0.986  0.30  0.804  0.804  0.956  0.951  1.000  1.000  0.970  0.965  0.816  0.817  0.896  0.893  0.994  0.991  0.35  0.992  0.991  0.996  0.993  1.000  1.000  0.998  0.997  0.943  0.938  0.674  0.682  0.999  0.998  0.40  0.998  0.997  0.999  0.999  1.000  1.000  0.984  0.979  0.944  0.939  0.762  0.765  0.998  0.997  0.45  0.957  0.955  0.998  0.997  1.000  1.000  0.894  0.891  0.962  0.957  0.428  0.439  0.990  0.987  0.50  0.998  0.998  0.998  0.996  1.000  1.000  0.906  0.903  0.995  0.992  0.229  0.233  0.998  0.996  0.55  1.000  1.000  0.999  0.998  1.000  1.000  0.928  0.923  0.986  0.982  0.474  0.485  0.995  0.992  0.60  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.908  0.904  0.955  0.950  0.630  0.639  0.937  0.932  0.65  0.982  0.980  1.000  0.999  1.000  1.000  0.496  0.507  0.921  0.917  0.289  0.296  0.741  0.746  0.70  0.370  0.374  0.971  0.966  0.997  0.994  0.193  0.195  0.746  0.751  0.052  0.047  0.457  0.468  0.75  0.000  0.000  0.235  0.239  0.362  0.372  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.003  0.002  0.80  0.000  0.000  0.001  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000    Joint   EBITTA   MB   LNTA   FATA   MDR   DEPTA     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.962  0.957  0.019  0.015  0.978  0.974  0.960  0.955  0.206  0.209  0.992  0.989    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.15  0.000  0.000  0.001  0.000  0.073  0.069  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.032  0.028  0.20  0.000  0.000  0.199  0.201  0.991  0.987  0.021  0.017  0.000  0.000  0.107  0.105  0.605  0.614  0.25  0.000  0.000  0.737  0.742  0.999  0.998  0.517  0.528  0.029  0.024  0.803  0.805  0.990  0.986  0.30  0.804  0.804  0.956  0.951  1.000  1.000  0.970  0.965  0.816  0.817  0.896  0.893  0.994  0.991  0.35  0.992  0.991  0.996  0.993  1.000  1.000  0.998  0.997  0.943  0.938  0.674  0.682  0.999  0.998  0.40  0.998  0.997  0.999  0.999  1.000  1.000  0.984  0.979  0.944  0.939  0.762  0.765  0.998  0.997  0.45  0.957  0.955  0.998  0.997  1.000  1.000  0.894  0.891  0.962  0.957  0.428  0.439  0.990  0.987  0.50  0.998  0.998  0.998  0.996  1.000  1.000  0.906  0.903  0.995  0.992  0.229  0.233  0.998  0.996  0.55  1.000  1.000  0.999  0.998  1.000  1.000  0.928  0.923  0.986  0.982  0.474  0.485  0.995  0.992  0.60  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.908  0.904  0.955  0.950  0.630  0.639  0.937  0.932  0.65  0.982  0.980  1.000  0.999  1.000  1.000  0.496  0.507  0.921  0.917  0.289  0.296  0.741  0.746  0.70  0.370  0.374  0.971  0.966  0.997  0.994  0.193  0.195  0.746  0.751  0.052  0.047  0.457  0.468  0.75  0.000  0.000  0.235  0.239  0.362  0.372  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.003  0.002  0.80  0.000  0.000  0.001  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics six-variable specification. Mean and quantile slope homogeneity tests across firms i of the model RTNi,t+1=αi+βi,EBITTAEBITTAi,t+βi,MBMBi,t+βi,LNTALNTAi,t+βi,FATAFATAi,t+βi,MDRMDRi,t+βi,DEPTADEPTAi,t+ɛi,t+1. S is the Swamy-type test and Δ the standardized Swamy test. The p-values are reported. Table 9. The p-values test results. Six-variable specification   Joint   EBITTA   MB   LNTA   FATA   MDR   DEPTA     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.962  0.957  0.019  0.015  0.978  0.974  0.960  0.955  0.206  0.209  0.992  0.989    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.15  0.000  0.000  0.001  0.000  0.073  0.069  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.032  0.028  0.20  0.000  0.000  0.199  0.201  0.991  0.987  0.021  0.017  0.000  0.000  0.107  0.105  0.605  0.614  0.25  0.000  0.000  0.737  0.742  0.999  0.998  0.517  0.528  0.029  0.024  0.803  0.805  0.990  0.986  0.30  0.804  0.804  0.956  0.951  1.000  1.000  0.970  0.965  0.816  0.817  0.896  0.893  0.994  0.991  0.35  0.992  0.991  0.996  0.993  1.000  1.000  0.998  0.997  0.943  0.938  0.674  0.682  0.999  0.998  0.40  0.998  0.997  0.999  0.999  1.000  1.000  0.984  0.979  0.944  0.939  0.762  0.765  0.998  0.997  0.45  0.957  0.955  0.998  0.997  1.000  1.000  0.894  0.891  0.962  0.957  0.428  0.439  0.990  0.987  0.50  0.998  0.998  0.998  0.996  1.000  1.000  0.906  0.903  0.995  0.992  0.229  0.233  0.998  0.996  0.55  1.000  1.000  0.999  0.998  1.000  1.000  0.928  0.923  0.986  0.982  0.474  0.485  0.995  0.992  0.60  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.908  0.904  0.955  0.950  0.630  0.639  0.937  0.932  0.65  0.982  0.980  1.000  0.999  1.000  1.000  0.496  0.507  0.921  0.917  0.289  0.296  0.741  0.746  0.70  0.370  0.374  0.971  0.966  0.997  0.994  0.193  0.195  0.746  0.751  0.052  0.047  0.457  0.468  0.75  0.000  0.000  0.235  0.239  0.362  0.372  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.003  0.002  0.80  0.000  0.000  0.001  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000    Joint   EBITTA   MB   LNTA   FATA   MDR   DEPTA     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.962  0.957  0.019  0.015  0.978  0.974  0.960  0.955  0.206  0.209  0.992  0.989    Τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.15  0.000  0.000  0.001  0.000  0.073  0.069  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.032  0.028  0.20  0.000  0.000  0.199  0.201  0.991  0.987  0.021  0.017  0.000  0.000  0.107  0.105  0.605  0.614  0.25  0.000  0.000  0.737  0.742  0.999  0.998  0.517  0.528  0.029  0.024  0.803  0.805  0.990  0.986  0.30  0.804  0.804  0.956  0.951  1.000  1.000  0.970  0.965  0.816  0.817  0.896  0.893  0.994  0.991  0.35  0.992  0.991  0.996  0.993  1.000  1.000  0.998  0.997  0.943  0.938  0.674  0.682  0.999  0.998  0.40  0.998  0.997  0.999  0.999  1.000  1.000  0.984  0.979  0.944  0.939  0.762  0.765  0.998  0.997  0.45  0.957  0.955  0.998  0.997  1.000  1.000  0.894  0.891  0.962  0.957  0.428  0.439  0.990  0.987  0.50  0.998  0.998  0.998  0.996  1.000  1.000  0.906  0.903  0.995  0.992  0.229  0.233  0.998  0.996  0.55  1.000  1.000  0.999  0.998  1.000  1.000  0.928  0.923  0.986  0.982  0.474  0.485  0.995  0.992  0.60  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  1.000  0.908  0.904  0.955  0.950  0.630  0.639  0.937  0.932  0.65  0.982  0.980  1.000  0.999  1.000  1.000  0.496  0.507  0.921  0.917  0.289  0.296  0.741  0.746  0.70  0.370  0.374  0.971  0.966  0.997  0.994  0.193  0.195  0.746  0.751  0.052  0.047  0.457  0.468  0.75  0.000  0.000  0.235  0.239  0.362  0.372  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.003  0.002  0.80  0.000  0.000  0.001  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics six-variable specification. Mean and quantile slope homogeneity tests across firms i of the model RTNi,t+1=αi+βi,EBITTAEBITTAi,t+βi,MBMBi,t+βi,LNTALNTAi,t+βi,FATAFATAi,t+βi,MDRMDRi,t+βi,DEPTADEPTAi,t+ɛi,t+1. S is the Swamy-type test and Δ the standardized Swamy test. The p-values are reported. Columns 3–14 of Table 9 provide the p-values of the marginal slope homogeneity tests for each firm characteristic. The p-value of the market-to-book variable is 0.019 and suggests that the sensitivity of the firms’ excess asset returns to variation of this financial ratio is different across stocks. These findings are confirmed by the results of the tests for the subsamples determined by the mean value of the MB financial ratio but are not reported for the sake of space. As in the preceding exercise, the marginal slope homogeneity test for the MB ratio fails to reject the null hypothesis for value stocks but rejects it for growth stocks. Table 10 presents the OLS and QR parameter estimates with FE. The results are qualitatively similar to the previous specification; in particular, the sign of the MB and LNTA slope parameters is the same of the previous specification. The model also includes a profitability measure, EBITTA, a depreciation variable, DEPTA, a variable that captures the proportion of physical assets, FATA, and a variable that measures the firm’s leverage, MDR. The parameter estimates indicate a negative effect of firms’ profitability on the excess asset return. The magnitude of this effect is large and statistically significant across quantiles. The proportion of physical assets over total assets also has a positive and significant effect on the cross-section of asset returns. Interestingly, the leverage of the firm, MDR, defined as debt over equity, also has a positive effect on the excess asset return. Firms’ depreciation as a proportion of total assets has, on the other hand, a negative effect on the risk premium. It is worth noting that the model estimates for the tail quantiles obtained from pooling the data across stocks are not supported by the QR slope homogeneity tests. Table 10. FE and FE-QR estimation results. Six-variable specification Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  EBITTA  −0.602***  −0.286**  −0.510***  −0.530***  −0.615***  −0.539***    (0.098)  (0.113)  (0.031)  (0.000)  (0.037)  (0.171)  MB  −0.042***  −0.046***  −0.035***  −0.041***  −0.020***  0.001    (0.010)  (0.011)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.013)  LNTA  0.058***  0.137***  0.081***  0.051***  0.027***  0.007    (0.010)  (0.010)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.015)  FATA  0.620***  1.178***  0.751***  0.480***  0.432***  –0.104    (0.091)  (0.095)  (0.029)  (0.000)  (0.033)  (0.145)  MDR  1.089***  1.076***  0.943***  0.894***  1.097***  1.293***    (0.051)  (0.057)  (0.016)  (0.000)  (0.019)  (0.083)  DEPTTA  −5.112***  −4.265***  −3.633***  −3.626***  −5.053***  −5.064***    (0.598)  (0.602)  (0.184)  (0.000)  (0.218)  (0.993)  Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  EBITTA  −0.602***  −0.286**  −0.510***  −0.530***  −0.615***  −0.539***    (0.098)  (0.113)  (0.031)  (0.000)  (0.037)  (0.171)  MB  −0.042***  −0.046***  −0.035***  −0.041***  −0.020***  0.001    (0.010)  (0.011)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.013)  LNTA  0.058***  0.137***  0.081***  0.051***  0.027***  0.007    (0.010)  (0.010)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.015)  FATA  0.620***  1.178***  0.751***  0.480***  0.432***  –0.104    (0.091)  (0.095)  (0.029)  (0.000)  (0.033)  (0.145)  MDR  1.089***  1.076***  0.943***  0.894***  1.097***  1.293***    (0.051)  (0.057)  (0.016)  (0.000)  (0.019)  (0.083)  DEPTTA  −5.112***  −4.265***  −3.633***  −3.626***  −5.053***  −5.064***    (0.598)  (0.602)  (0.184)  (0.000)  (0.218)  (0.993)  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics seven-variable specification. Mean and quantile FE model RTNi,t+1=αi+βEBITTAEBITTAi,t+βMBMBi,t+βLNTALNTAi,t+βFATAFATAi,t+βMDRMDRi,t+βDEPTADEPTAi,t+ɛi,t+1. Standard errors in parentheses. *significant at 10%, **significant at 5%, ***significant at 1%. Table 10. FE and FE-QR estimation results. Six-variable specification Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  EBITTA  −0.602***  −0.286**  −0.510***  −0.530***  −0.615***  −0.539***    (0.098)  (0.113)  (0.031)  (0.000)  (0.037)  (0.171)  MB  −0.042***  −0.046***  −0.035***  −0.041***  −0.020***  0.001    (0.010)  (0.011)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.013)  LNTA  0.058***  0.137***  0.081***  0.051***  0.027***  0.007    (0.010)  (0.010)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.015)  FATA  0.620***  1.178***  0.751***  0.480***  0.432***  –0.104    (0.091)  (0.095)  (0.029)  (0.000)  (0.033)  (0.145)  MDR  1.089***  1.076***  0.943***  0.894***  1.097***  1.293***    (0.051)  (0.057)  (0.016)  (0.000)  (0.019)  (0.083)  DEPTTA  −5.112***  −4.265***  −3.633***  −3.626***  −5.053***  −5.064***    (0.598)  (0.602)  (0.184)  (0.000)  (0.218)  (0.993)  Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  EBITTA  −0.602***  −0.286**  −0.510***  −0.530***  −0.615***  −0.539***    (0.098)  (0.113)  (0.031)  (0.000)  (0.037)  (0.171)  MB  −0.042***  −0.046***  −0.035***  −0.041***  −0.020***  0.001    (0.010)  (0.011)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.013)  LNTA  0.058***  0.137***  0.081***  0.051***  0.027***  0.007    (0.010)  (0.010)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.015)  FATA  0.620***  1.178***  0.751***  0.480***  0.432***  –0.104    (0.091)  (0.095)  (0.029)  (0.000)  (0.033)  (0.145)  MDR  1.089***  1.076***  0.943***  0.894***  1.097***  1.293***    (0.051)  (0.057)  (0.016)  (0.000)  (0.019)  (0.083)  DEPTTA  −5.112***  −4.265***  −3.633***  −3.626***  −5.053***  −5.064***    (0.598)  (0.602)  (0.184)  (0.000)  (0.218)  (0.993)  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics seven-variable specification. Mean and quantile FE model RTNi,t+1=αi+βEBITTAEBITTAi,t+βMBMBi,t+βLNTALNTAi,t+βFATAFATAi,t+βMDRMDRi,t+βDEPTADEPTAi,t+ɛi,t+1. Standard errors in parentheses. *significant at 10%, **significant at 5%, ***significant at 1%. 5.3 Seven-variable Specification This last specification extends the previous model by also including MKT. The empirical findings are consistent across models. It is worth noting that the marginal slope homogeneity test associated with the covariate given by the market portfolio return rejects only the null hypothesis for the higher quantiles of the distribution and not for the lower quantiles as do the rest of covariates. As in the two previous specifications, the slope homogeneity test presents some anomalies associated to market-to-book value, in particular, Table 11 reports a p-value of 0.024 and 0.020 for the test statistics S and Δ, respectively. Table 11. The p-values test results. Seven-variable specification   Joint   EBITTA   MB   LNTA   FATA   MDR   DEPTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.960  0.955  0.024  0.020  0.980  0.975  0.967  0.962  0.173  0.175  0.998  0.996  1.000  1.000    τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.301  0.308  0.15  0.000  0.000  0.004  0.003  0.037  0.032  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.028  0.024  1.000  1.000  0.20  0.000  0.000  0.111  0.108  0.954  0.949  0.109  0.107  0.005  0.003  0.088  0.085  0.792  0.794  1.000  1.000  0.25  0.084  0.083  0.412  0.422  0.998  0.996  0.618  0.627  0.365  0.375  0.543  0.553  0.993  0.990  1.000  1.000  0.30  0.978  0.976  0.855  0.854  0.999  0.999  0.879  0.876  0.861  0.859  0.680  0.688  0.997  0.994  1.000  1.000  0.35  0.999  0.999  0.987  0.983  1.000  0.999  0.989  0.985  0.970  0.964  0.522  0.533  1.000  0.999  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.982  0.978  1.000  1.000  0.985  0.980  0.944  0.939  0.377  0.387  0.999  0.998  1.000  1.000  0.45  0.996  0.996  0.991  0.987  1.000  1.000  0.875  0.873  0.917  0.913  0.198  0.200  0.995  0.992  1.000  1.000  0.50  0.999  0.999  0.990  0.986  1.000  1.000  0.818  0.819  0.984  0.979  0.053  0.049  0.996  0.994  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.999  0.997  1.000  1.000  0.917  0.913  0.984  0.980  0.230  0.234  0.998  0.996  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.997  0.996  1.000  0.999  0.782  0.785  0.956  0.951  0.270  0.276  0.986  0.981  1.000  1.000  0.65  0.994  0.993  0.996  0.994  0.997  0.995  0.506  0.517  0.843  0.842  0.145  0.144  0.912  0.908  1.000  1.000  0.70  0.203  0.203  0.852  0.851  0.925  0.920  0.162  0.163  0.250  0.255  0.013  0.010  0.283  0.289  0.997  0.995  0.75  0.000  0.000  0.244  0.249  0.211  0.214  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.002  0.001  0.902  0.899  0.80  0.000  0.000  0.001  0.001  0.001  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.006  0.004  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000    Joint   EBITTA   MB   LNTA   FATA   MDR   DEPTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.960  0.955  0.024  0.020  0.980  0.975  0.967  0.962  0.173  0.175  0.998  0.996  1.000  1.000    τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.301  0.308  0.15  0.000  0.000  0.004  0.003  0.037  0.032  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.028  0.024  1.000  1.000  0.20  0.000  0.000  0.111  0.108  0.954  0.949  0.109  0.107  0.005  0.003  0.088  0.085  0.792  0.794  1.000  1.000  0.25  0.084  0.083  0.412  0.422  0.998  0.996  0.618  0.627  0.365  0.375  0.543  0.553  0.993  0.990  1.000  1.000  0.30  0.978  0.976  0.855  0.854  0.999  0.999  0.879  0.876  0.861  0.859  0.680  0.688  0.997  0.994  1.000  1.000  0.35  0.999  0.999  0.987  0.983  1.000  0.999  0.989  0.985  0.970  0.964  0.522  0.533  1.000  0.999  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.982  0.978  1.000  1.000  0.985  0.980  0.944  0.939  0.377  0.387  0.999  0.998  1.000  1.000  0.45  0.996  0.996  0.991  0.987  1.000  1.000  0.875  0.873  0.917  0.913  0.198  0.200  0.995  0.992  1.000  1.000  0.50  0.999  0.999  0.990  0.986  1.000  1.000  0.818  0.819  0.984  0.979  0.053  0.049  0.996  0.994  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.999  0.997  1.000  1.000  0.917  0.913  0.984  0.980  0.230  0.234  0.998  0.996  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.997  0.996  1.000  0.999  0.782  0.785  0.956  0.951  0.270  0.276  0.986  0.981  1.000  1.000  0.65  0.994  0.993  0.996  0.994  0.997  0.995  0.506  0.517  0.843  0.842  0.145  0.144  0.912  0.908  1.000  1.000  0.70  0.203  0.203  0.852  0.851  0.925  0.920  0.162  0.163  0.250  0.255  0.013  0.010  0.283  0.289  0.997  0.995  0.75  0.000  0.000  0.244  0.249  0.211  0.214  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.002  0.001  0.902  0.899  0.80  0.000  0.000  0.001  0.001  0.001  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.006  0.004  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  Notes: See notes in Table 4. Seven-variable specification. Mean and quantile slope homogeneity tests across firms i of the model RTNi,t+1=αi+βi,EBITTAEBITTAi,t+βi,MBMBi,t+βi,LNTALNTAi,t+βi,FATAFATAi,t+βi,MDRMDRi,t+βi,DEPTADEPTAi,t+βi,MKTMKTt+ɛi,t+1. S is the Swamy-type test and Δ the standardized Swamy test. The p-values are reported. Table 11. The p-values test results. Seven-variable specification   Joint   EBITTA   MB   LNTA   FATA   MDR   DEPTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.960  0.955  0.024  0.020  0.980  0.975  0.967  0.962  0.173  0.175  0.998  0.996  1.000  1.000    τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.301  0.308  0.15  0.000  0.000  0.004  0.003  0.037  0.032  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.028  0.024  1.000  1.000  0.20  0.000  0.000  0.111  0.108  0.954  0.949  0.109  0.107  0.005  0.003  0.088  0.085  0.792  0.794  1.000  1.000  0.25  0.084  0.083  0.412  0.422  0.998  0.996  0.618  0.627  0.365  0.375  0.543  0.553  0.993  0.990  1.000  1.000  0.30  0.978  0.976  0.855  0.854  0.999  0.999  0.879  0.876  0.861  0.859  0.680  0.688  0.997  0.994  1.000  1.000  0.35  0.999  0.999  0.987  0.983  1.000  0.999  0.989  0.985  0.970  0.964  0.522  0.533  1.000  0.999  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.982  0.978  1.000  1.000  0.985  0.980  0.944  0.939  0.377  0.387  0.999  0.998  1.000  1.000  0.45  0.996  0.996  0.991  0.987  1.000  1.000  0.875  0.873  0.917  0.913  0.198  0.200  0.995  0.992  1.000  1.000  0.50  0.999  0.999  0.990  0.986  1.000  1.000  0.818  0.819  0.984  0.979  0.053  0.049  0.996  0.994  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.999  0.997  1.000  1.000  0.917  0.913  0.984  0.980  0.230  0.234  0.998  0.996  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.997  0.996  1.000  0.999  0.782  0.785  0.956  0.951  0.270  0.276  0.986  0.981  1.000  1.000  0.65  0.994  0.993  0.996  0.994  0.997  0.995  0.506  0.517  0.843  0.842  0.145  0.144  0.912  0.908  1.000  1.000  0.70  0.203  0.203  0.852  0.851  0.925  0.920  0.162  0.163  0.250  0.255  0.013  0.010  0.283  0.289  0.997  0.995  0.75  0.000  0.000  0.244  0.249  0.211  0.214  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.002  0.001  0.902  0.899  0.80  0.000  0.000  0.001  0.001  0.001  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.006  0.004  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000    Joint   EBITTA   MB   LNTA   FATA   MDR   DEPTA   MKT     S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ  S  Δ    Mean-based model    1.000  1.000  0.960  0.955  0.024  0.020  0.980  0.975  0.967  0.962  0.173  0.175  0.998  0.996  1.000  1.000    τ  QR models    0.05  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.10  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.301  0.308  0.15  0.000  0.000  0.004  0.003  0.037  0.032  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.028  0.024  1.000  1.000  0.20  0.000  0.000  0.111  0.108  0.954  0.949  0.109  0.107  0.005  0.003  0.088  0.085  0.792  0.794  1.000  1.000  0.25  0.084  0.083  0.412  0.422  0.998  0.996  0.618  0.627  0.365  0.375  0.543  0.553  0.993  0.990  1.000  1.000  0.30  0.978  0.976  0.855  0.854  0.999  0.999  0.879  0.876  0.861  0.859  0.680  0.688  0.997  0.994  1.000  1.000  0.35  0.999  0.999  0.987  0.983  1.000  0.999  0.989  0.985  0.970  0.964  0.522  0.533  1.000  0.999  1.000  1.000  0.40  1.000  1.000  0.982  0.978  1.000  1.000  0.985  0.980  0.944  0.939  0.377  0.387  0.999  0.998  1.000  1.000  0.45  0.996  0.996  0.991  0.987  1.000  1.000  0.875  0.873  0.917  0.913  0.198  0.200  0.995  0.992  1.000  1.000  0.50  0.999  0.999  0.990  0.986  1.000  1.000  0.818  0.819  0.984  0.979  0.053  0.049  0.996  0.994  1.000  1.000  0.55  1.000  1.000  0.999  0.997  1.000  1.000  0.917  0.913  0.984  0.980  0.230  0.234  0.998  0.996  1.000  1.000  0.60  1.000  1.000  0.997  0.996  1.000  0.999  0.782  0.785  0.956  0.951  0.270  0.276  0.986  0.981  1.000  1.000  0.65  0.994  0.993  0.996  0.994  0.997  0.995  0.506  0.517  0.843  0.842  0.145  0.144  0.912  0.908  1.000  1.000  0.70  0.203  0.203  0.852  0.851  0.925  0.920  0.162  0.163  0.250  0.255  0.013  0.010  0.283  0.289  0.997  0.995  0.75  0.000  0.000  0.244  0.249  0.211  0.214  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.002  0.001  0.902  0.899  0.80  0.000  0.000  0.001  0.001  0.001  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.006  0.004  0.85  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.90  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.95  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  0.000  Notes: See notes in Table 4. Seven-variable specification. Mean and quantile slope homogeneity tests across firms i of the model RTNi,t+1=αi+βi,EBITTAEBITTAi,t+βi,MBMBi,t+βi,LNTALNTAi,t+βi,FATAFATAi,t+βi,MDRMDRi,t+βi,DEPTADEPTAi,t+βi,MKTMKTt+ɛi,t+1. S is the Swamy-type test and Δ the standardized Swamy test. The p-values are reported. The estimates of the model parameters for this specification, reported in Table 12, are also very similar to previous specifications. The parameter associated with the market portfolio excess return is small, compared to the magnitude of the rest of model parameters, but statistically significant, helping in the prediction of the risk premium. Table 12. FE and FE-QR estimation results. Seven-variable specification Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  EBITTA  −0.602***  −0.286**  −0.510***  −0.530***  −0.615***  −0.539***    (0.098)  (0.113)  (0.031)  (0.000)  (0.037)  (0.171)  MB  −0.042***  −0.046***  −0.035***  −0.041***  −0.020***  0.001    (0.010)  (0.011)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.013)  LNTA  0.058***  0.137***  0.081***  0.051***  0.027***  0.007    (0.010)  (0.010)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.015)  FATA  0.620***  1.178***  0.751***  0.480***  0.432***  –0.104    (0.091)  (0.095)  (0.029)  (0.000)  (0.033)  (0.145)  MDR  1.089***  1.076***  0.943***  0.894***  1.097***  1.293***    (0.051)  (0.057)  (0.016)  (0.000)  (0.019)  (0.083)  DEPTA  −5.112***  −4.265***  −3.633***  −3.626***  −5.053***  −5.064***    (0.598)  (0.602)  (0.184)  (0.000)  (0.218)  (0.993)  MKT  0.002***  0.003***  0.002***  0.001***  0.0004***  –0.0007    (0.0004)  (0.0005)  (0.0002)  (0.000)  (0.0002)  (0.0006)  Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  EBITTA  −0.602***  −0.286**  −0.510***  −0.530***  −0.615***  −0.539***    (0.098)  (0.113)  (0.031)  (0.000)  (0.037)  (0.171)  MB  −0.042***  −0.046***  −0.035***  −0.041***  −0.020***  0.001    (0.010)  (0.011)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.013)  LNTA  0.058***  0.137***  0.081***  0.051***  0.027***  0.007    (0.010)  (0.010)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.015)  FATA  0.620***  1.178***  0.751***  0.480***  0.432***  –0.104    (0.091)  (0.095)  (0.029)  (0.000)  (0.033)  (0.145)  MDR  1.089***  1.076***  0.943***  0.894***  1.097***  1.293***    (0.051)  (0.057)  (0.016)  (0.000)  (0.019)  (0.083)  DEPTA  −5.112***  −4.265***  −3.633***  −3.626***  −5.053***  −5.064***    (0.598)  (0.602)  (0.184)  (0.000)  (0.218)  (0.993)  MKT  0.002***  0.003***  0.002***  0.001***  0.0004***  –0.0007    (0.0004)  (0.0005)  (0.0002)  (0.000)  (0.0002)  (0.0006)  Notes: See notes in Table 4. Firm-characteristics seven-variable specification. Mean and quantile FE model RTNi,t+1=αi+βEBITTAEBITTAi,t+βMBMBi,t+βLNTALNTAi,t+βFATAFATAi,t+βMDRMDRi,t+βDEPTADEPTAi,t+βMKTMKTt+ɛi,t+1. Standard errors in parentheses. *significant at 10%, **significant at 5%, ***significant at 1%. Table 12. FE and FE-QR estimation results. Seven-variable specification Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  EBITTA  −0.602***  −0.286**  −0.510***  −0.530***  −0.615***  −0.539***    (0.098)  (0.113)  (0.031)  (0.000)  (0.037)  (0.171)  MB  −0.042***  −0.046***  −0.035***  −0.041***  −0.020***  0.001    (0.010)  (0.011)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.013)  LNTA  0.058***  0.137***  0.081***  0.051***  0.027***  0.007    (0.010)  (0.010)  (0.003)  (0.000)  (0.003)  (0.015)  FATA  0.620***  1.178***  0.751***  0.480***  0.432***  –0.104    (0.091)  (0.095)  (0.029)  (0.000)  (0.033)  (0.145)  MDR  1.089***  1.076***  0.943***  0.894***  1.097***  1.293***    (0.051)  (0.057)  (0.016)  (0.000)  (0.019)  (0.083)  DEPTA  −5.112***  −4.265***  −3.633***  −3.626***  −5.053***  −5.064***    (0.598)  (0.602)  (0.184)  (0.000)  (0.218)  (0.993)  MKT  0.002***  0.003***  0.002***  0.001***  0.0004***  –0.0007    (0.0004)  (0.0005)  (0.0002)  (0.000)  (0.0002)  (0.0006)  Variables  Mean  τ=0.10  τ=0.25  τ=0.50  τ=0.75  τ=0.90  EBITTA  −0.602***  −0.286**  −0.510***  −0.530***  −0.615***  −0.539***    (0.098)  (0.113)  (0.031)  (0.000)  (0.037)  (0.171)  MB  −0.042***  −0.046***  −0.035***  −0.041***  −0.020***  0.001    (0.010)  (0.011)  (0.003)&nb