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/lp/springer-journals/ber-die-transformierten-der-arithmetischen-mittel-von-orthogonalreihen-LTOGWC5kpW
- Publisher
- Springer Journals
- Copyright
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- Subject
- Mathematics; Mathematics, general
- ISSN
- 0001-5954
- eISSN
- 1588-2632
- DOI
- 10.1007/BF02113894
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Abstract
UBER DIE TRANSFORMIERTEN DER ARITHMETISCHEN MITTEL VON ORTHOGONALREIHEN VoI1 GEORG ALEXtTS (Budapest), Mitglied tier Akademie 1. Einleitung 1.1. Set {%(x)} ein im lntervall (a, b) definiertes System yon normierten Orthogonalfunktionen. Betrachten wit die Entwicklung f(x) Y_ ff( )%(x)ax der Funktion f(x). ISt {2,~} irgendeine Zahlenfolge, so verstehen wir unter der 2-Transformierten tier Reihe .~c,~ff,,,,(x) die Reihe ,~,~,~c,@,~(x). Oeh~3rt/(x)zu ether Funktionenklasse A und ist die 2-Transformierte ihrer Entwicklung die Entwicklung ether Funktion g(x), welche zur Funktionenklasse B geh/3rt, so sagen wir, dab {2,~} zur Klasse (A, B) geh6rt. 1.2. Eine besonders in der Theorie tier Fourierreihen viel untersuchte Frage ist die folgende: Unter welchen Bedingungen l~ifA sich behaupten, dab eine vorgegebene Zahlenfolge {2,,} zur Klasse (A,B) geh0rt? Im folgenden werden wir mehrere, nut fflr Fourierreihen bewiesene S/~tze aus diesem Fragenkreis auf viel allgemeinere Orthogonalreihen tibertragen. Ihre affs der Theorie der Fourierreihen bekannten Beweise nfitzen recht spezielle Eigenschaften der Fourierreihe aus. Unsere Verallgemeinerungen erreichen wir dadurch, dab wit zeigen: Der gemeinsame Kern aller dieser S~itze besteht einzig und attein in tier (bet den Fourierreihen wohtbekannten)Eigenschaft des Orthogonaisystems {gv,,(x)}, daI~ die Lebesgueschen Funktionen der arithmetischen Mittel der nach den ~,~(x)fortschreitenden Emwicklungen fast ~iberall gemeinsam beschr~inkt bleiben. I Ac~a Mathematica 2 G. ALEXITS
Journal
Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungarica – Springer Journals
Published: Aug 6, 2005