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Lösung und Verallgemeinerung eines Schurschen Irreduzibilitätsproblems für Polynome

Lösung und Verallgemeinerung eines Schurschen Irreduzibilitätsproblems für Polynome LOSUNG UND VERALLGEMEINERUNG EINES SCHURSCHEN FUR POLYNOME Yon I. SERES (Budapest). (Vorgelegt yon P. TURAN) Dem Andenken yon I. Scnur~ gewidmet Es bezeichne F den rationalen ZahlkOrper. I. SCHU~ [1] hat folgende Aufgabe gestellt: ,,Es seien a, a2,...,a~ voneinander versChiedene ganze Zahlen. Das Polynom f(x) = (x-ad (x-a~) . . (x-a,O- . 1 ist dann tiber F irreduzibel". Diese Aufgabe wurde yon W. FL~rG~L [2] gelOst. Er hat ferner gezeigt [2], dal3 tiber F bis auf einige Ausnahmen auch das Polynom f, (x) = (x-- a d (x-- a~).. (x-- a,0 -k- 1 irreduzibel ist. I. SCHUR hat ferner als Aufgabe [3] den Nachweis der Irreduzibilit/at des Polynoms A (X) = (X-- al) 2 (X-- a2) ~ . (x-- a,~) 2 -4- 1 im PolynomenringF[x] gestellt. Die LOsung ist in der Aufgabensammlung [4] zu finden. A. BRaueR, R. BRAUER und H. HOPF [5] haben gezeigt, daf~ f,(x)=H(x a~)' + 1 k=l und f~(x) = 11 (x-ak)~ + 1 k=l unter obigen Voraussetzungen tiber die ak in F[x] irreduzibel sind. (S.auch [6].) In der vorliegenden Arbeit beweise ich folgenden SATZ 1. Das Polynom 11i F(x) -~- I] (x-- ak)2'~q - 1 k=l ist in E[x] irreduzibel, falls die ak vOneinander http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungarica Springer Journals

Lösung und Verallgemeinerung eines Schurschen Irreduzibilitätsproblems für Polynome

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Publisher
Springer Journals
Copyright
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Subject
Mathematics; Mathematics, general
ISSN
0001-5954
eISSN
1588-2632
DOI
10.1007/BF02028199
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Abstract

LOSUNG UND VERALLGEMEINERUNG EINES SCHURSCHEN FUR POLYNOME Yon I. SERES (Budapest). (Vorgelegt yon P. TURAN) Dem Andenken yon I. Scnur~ gewidmet Es bezeichne F den rationalen ZahlkOrper. I. SCHU~ [1] hat folgende Aufgabe gestellt: ,,Es seien a, a2,...,a~ voneinander versChiedene ganze Zahlen. Das Polynom f(x) = (x-ad (x-a~) . . (x-a,O- . 1 ist dann tiber F irreduzibel". Diese Aufgabe wurde yon W. FL~rG~L [2] gelOst. Er hat ferner gezeigt [2], dal3 tiber F bis auf einige Ausnahmen auch das Polynom f, (x) = (x-- a d (x-- a~).. (x-- a,0 -k- 1 irreduzibel ist. I. SCHUR hat ferner als Aufgabe [3] den Nachweis der Irreduzibilit/at des Polynoms A (X) = (X-- al) 2 (X-- a2) ~ . (x-- a,~) 2 -4- 1 im PolynomenringF[x] gestellt. Die LOsung ist in der Aufgabensammlung [4] zu finden. A. BRaueR, R. BRAUER und H. HOPF [5] haben gezeigt, daf~ f,(x)=H(x a~)' + 1 k=l und f~(x) = 11 (x-ak)~ + 1 k=l unter obigen Voraussetzungen tiber die ak in F[x] irreduzibel sind. (S.auch [6].) In der vorliegenden Arbeit beweise ich folgenden SATZ 1. Das Polynom 11i F(x) -~- I] (x-- ak)2'~q - 1 k=l ist in E[x] irreduzibel, falls die ak vOneinander

Journal

Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungarica – Springer Journals

Published: Jul 16, 2005

References

  • Lösung der Aufgabe 226
    Flügel, W.
  • Über Irreduzibilität einiger speziellen Klassen von Polynomen
    Brauer, A.; Brauer, R.; Hopf, H.
  • Über Irreduzibilitätskriterien von I. Schur und G. Pólya
    Brauer, A.; Brauer, R.