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Realitätsgrad und Realitätsstellen von komplexen Polynomen

Realitätsgrad und Realitätsstellen von komplexen Polynomen REALIT_a.TSGRAD UND REALITATSSTELLEN VON KOMPLEXEN POLYNOMEN Von GYULA SZ.-NAGY (Szeged), Mi/glied de kkademie i. Besitzt das Polynom f(z) mit komplexen Koeffizienten m reelle Null- stellen und /) bzw. q nichtreelle Nullstellen mit positiven bzw. negativen imag~n~rteilen (jede Nullstelle nach ihrer Vielfachheit gerechne0, so wird die ZahI r ~ m @ rP--qi der Reatitatsgrad des Polynoms f(z) genannt. Das Polynom f(z) hat den Grad n--m@p4-q und den Realit~tsgrad r m@p--q=n--2q bzw. r~-m@q--p~n--2p, je nachdem p>~q bzw. p < q ist. Der Realit~itsgrad ist also um eine nichtnegative gerade Zahl kleiner als der Grad. Die Zahlen n und r stimmen dann fiberein, wenn alle nicht- reellen Nullstetlen yon f(z) oberhaIb oder alle unterhatb der reellen Achse liegen. Der Realit~itsgrad von f(z) verschwindet, fails das Polynom f(z) keine reeile Nullstelle besitzt und obm:halb der reellen Achse ebenso viel nichtreelle Nullstellen vorhanden sind, wie unterhalb. Sind Cl, c2,..., c,,, die reellen Nullstellen des Polynoms f(z) und sind al, a2,..., a~,, bzw. bl, b2,..., b~ seine nichtreellen Nullstellen mit posifiven bzw. negativen lmagin~rteilen, so hat f(z) die Form f(z) = (z) g (z), m 1~ q <1) g(z)=clI(z-a;O lI(e-o,,), (c#o). 7c=f h~l k~l Die Realitdtsstellen des Polynoms f(z)sind die Punkte x der reellen Achse, http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungarica Springer Journals

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Publisher
Springer Journals
Copyright
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Subject
Mathematics; Mathematics, general
ISSN
0001-5954
eISSN
1588-2632
DOI
10.1007/BF02113900
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Abstract

REALIT_a.TSGRAD UND REALITATSSTELLEN VON KOMPLEXEN POLYNOMEN Von GYULA SZ.-NAGY (Szeged), Mi/glied de kkademie i. Besitzt das Polynom f(z) mit komplexen Koeffizienten m reelle Null- stellen und /) bzw. q nichtreelle Nullstellen mit positiven bzw. negativen imag~n~rteilen (jede Nullstelle nach ihrer Vielfachheit gerechne0, so wird die ZahI r ~ m @ rP--qi der Reatitatsgrad des Polynoms f(z) genannt. Das Polynom f(z) hat den Grad n--m@p4-q und den Realit~tsgrad r m@p--q=n--2q bzw. r~-m@q--p~n--2p, je nachdem p>~q bzw. p < q ist. Der Realit~itsgrad ist also um eine nichtnegative gerade Zahl kleiner als der Grad. Die Zahlen n und r stimmen dann fiberein, wenn alle nicht- reellen Nullstetlen yon f(z) oberhaIb oder alle unterhatb der reellen Achse liegen. Der Realit~itsgrad von f(z) verschwindet, fails das Polynom f(z) keine reeile Nullstelle besitzt und obm:halb der reellen Achse ebenso viel nichtreelle Nullstellen vorhanden sind, wie unterhalb. Sind Cl, c2,..., c,,, die reellen Nullstellen des Polynoms f(z) und sind al, a2,..., a~,, bzw. bl, b2,..., b~ seine nichtreellen Nullstellen mit posifiven bzw. negativen lmagin~rteilen, so hat f(z) die Form f(z) = (z) g (z), m 1~ q <1) g(z)=clI(z-a;O lI(e-o,,), (c#o). 7c=f h~l k~l Die Realitdtsstellen des Polynoms f(z)sind die Punkte x der reellen Achse,

Journal

Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungarica – Springer Journals

Published: Aug 6, 2005

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